Производные обратных тригонометрических функций

Теорема 10. Функция y = a rcsin x дифференцируема при любом x Î(-1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = a rcsin x определена при x Î[-1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области ее определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = a rcsin x. Найдем производную от обеих частей уравнения:

.

Выразим из полученного равенства y ':

.

Но при .

Поэтому , так как .

Следовательно, получаем:

.

Теорема 11. Функция y = arcos x дифференцируема при x Î (-1;1) и справедлива формула:

.

Теорема 12. Функция y = a rct gx дифференцируема при x Î (-¥:+¥) и справедлива формула:

.

Теорема 13. Функция y = a rcсt gx дифференцируема при x Î (-¥:+¥) и справедлива формула:

.

Теоремы 11, 12, и 13 доказываются аналогично доказательству теоремы 10.

9 вопрос:

. Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и ее приращение в этой точке можно представить в виде: D x = A ×D x +a(D x)×D x, где A = A (x) – не зависит от D x; a(D x) – бесконечно малая при D x ®0, то есть .

Теорема (связь дифференцируемости с непрерывностью функции).

Если функция y = f (x) дифференцируема в точке x ÎD(f), то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Так как функция дифференцируема в точке x, то ее приращение в этой точке можно представить в виде:

D y = A × D x +a(D x) × D x, где A = f ' (x) и a(D x)®0 при D x ®0.

Найдем предел от D y при D x ®0:

Þ по определению 2 непрерывности функции в точке функция y = f (x) непрерывна в т. x.

Замечание. Обратное теореме 2 утверждение не всегда верно.

10 вопрос:

. Функция y = f (x) называется дифференцируемой в точке x ÎD(f), если она определена в некоторой окрестности точки x и ее приращение в этой точке можно представить в виде: D x = A ×D x +a(D x)×D x, где A = A (x) – не зависит от D x; a(D x) – бесконечно малая при D x ®0, то есть .

Теорема (связь дифференцируемости с существованием производной)

Функция y = f (x) дифференцируема в точке x ÎD(f) тогда и только тогда, когда она имеет в этой точке производную f ' (x). При этом

f' (x) = A.