![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема 1. Если функция f (x) на отрезке [ a; b ] непрерывна, то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений, то есть для любых x Î[ a; b ] выполняется неравенство:
m ≤ f (x) ≤ M.
Теорема 2. Если функция f (x) на отрезке [ a; b ] непрерывна, то для любого числа С, удовлетворяющего неравенству m ≤ С ≤ M, на отрезке [ a; b ], найдется хотя бы одна точа х о, в которой выполняется равенство:
f (х о) = С.
Теорема 3. Если функция f (x) на отрезке [ a; b ] непрерывна и на концах этого отрезка имеет значения различных знаков, то существует хотя бы одна точка х оÎ(a; b), в которой выполняется равенство:
f (х о) = 0.
Теорема 4 (теорема Ролля)
Если функция f (x) определена на [ a; b ] и выполнены следующие условия:
1. f (x) непрерывна на [ a; b ];
2. f (x) дифференцируема на (a; b);
3. f (a) = f (b),
то внутри этого отрезка найдется хотя бы одна точка х о, в которой выполняется равенство:
f ' (хо) = 0.
Доказательство. Так как f (x) непрерывна на [ a; b ], то она достигает на этом отрезке своих наименьшего m и наибольшего M значений.
Возможны два случая:
1) m = M,
2) m < M.
1) Если m = M, то f (x) = const = m = M. Тогда f '(x) = 0 при любом x Î (a; b).
Следовательно, в этом случае теорема верна и при этом в качестве х о можно рассматривать любое значение x Î (a; b).
2) Если m < M, то, исходя из условия f (a) = f (b), по крайней мере одно из чисел m или M не равно f (a) = f (b). Для определенности предположим, что M – наибольшее значение f (x) достигается не на концах отрезка [ a; b ], а в некоторой внутренней точке х о Î (a; b). Тогда в точке х о для приращения функции справедливо неравенство: D y = f (х о + D x) - f (х о) ≤ 0, так как f (х о) = M – наибольшее значение f (x) на [ a; b ] и D x такое, что х о + D x Î [ a; b ].
· Если D x > 0, то и существует
· Если D x < 0, то и существует
Так как по условию теоремы функция f (x) дифференцируема при x Î (a; b), то b в точке х о существует производная. Значит справедливы равенства:
f ' (х о +0) = f ' (х о -0) = f ' (х о) = 0.
Теорема доказана.
Теорема 5 (теорема Лагранжа).
Если функция f (x) определена на [ a; b ] и выполнены следующие условия:
1) f (x) непрерывна на отрезке [ a; b ],
2) f (x) дифференцируема на интервале (a; b), то внутри этого отрезка существует хотя бы одна точка х о, в которой выполняется равенство:
f ' (хо) = .
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную функцию F (x) = f (x) + l× x, где l = const. Потребуем, что бы для F (x) выполнялось условие F (a) = F (b).
Так как F (a) = f (a) + l × a; F (b) = f (b) + l × b, то получим равенство:
f (a) + l × a = f (b) + l × b.
Отсюда выразим значение l:
l = - .
При этом значении l функция F (x) = f (x) - .
Функция F (x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля:
F (x) непрерывна на [ a; b ]:
F (x) дифференцируема на (a; b)
F (a) = F (b).
Следовательно, по теореме Ролля на (a; b) существует хотя бы одна точка х о, в которой выполняется равенство:
F ' (х о) = 0.
Найдем F '(x):
F ' (x) = f '(x) -
Поэтому F ' (x) = f ' (хо) -
=> f ' (хо) =
Теорема доказана.
13 вопрос:
Теорема 7 (правило Лопиталя).
Если функции f (x) и g (x) определены в некоторой окрестности точки х о и в этой окрестности они удовлетворяют условиям:
1) f (x) и g (x) дифференцируемы в каждой точке, за исключением, может быть, самой точки х о;
2) g ' (x) ¹ 0 для любого x из этой окрестности;
3) или
тогда, если существует конечный или бесконечный, то выполняется равенство:
=
.
Это правило Лопиталя используется для раскрытия неопределенностей типа или
, возникающих при вычислении пределов. Если под знаком предела оказывается неопределенность другого типа: 0×∞, ∞ - ∞, 10, 00 или ∞0, то с помощью тождественных алгебраических преобразований такая неопределенность приводится к
или
, а затем можно применить правило Лопиталя.
Замечание 2. Если к условиям теоремы 6 добавить дифференцируемость функций f '(x) и g '(x) в окрестности точки х о, то при выполнении остальных требований для f '(x) и g '(x) правило Лопиталя можно применить повторно. При этом будет справедливо равенство:
=
=
14 вопрос:
(производная сложной функции)
Если функция f (u) дифференцируема в точке u, а функция u (x) дифференцируема в точке x, причем u = u (x), тогда сложная функция f (u(x)) дифференцируема в точке x и ее производная вычисляется по формуле:
(f (u (x)))' = f '(u) × u ' (x).
Доказательство. Рассмотрим функцию y = f (U). Так как функция f (u) дифференцируема в точке u, то ее приращение можно записать в виде:
, где
Разделим на D x и перейдем к пределу при D x ®0:
(если D x ®0, то D u ®0, т.к. u (x) дифференцируема, а значит непрерывна)
Значит: (f (u (x)))' = f ’(u) × u ' (x).
Теорема доказана.
15 вопрос:
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 194 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!