Геометрический смысл производной. Рассмотрим график функции y = f(x) в окрестности фиксированной точки x0 (рис.5)

Рассмотрим график функции y = f (x) в окрестности фиксированной точки x ₀ (рис.5).

Рис. 5

Точка M₀(x ₀; y (x ₀)) – фиксированная точка графика y = f (x). Точка M(x ₀+D x; y (x ₀+D x)) при различных значениях D x – любая точка на графике. Если точка M приближается к точке M₀ (при этом D x ®0), то секущая линия M₀M стремится к своему предельному положению, называемому касательной к линии y = f(x) в точке M₀.

Рассмотрим D M₀M A: t g a_сек= , a_сек = угол наклона секущей M₀M к оси Ox.

Перейдем к пределу при D x ®0:

То есть y ' (x ₀) = t g a_кас => частное значение производной функции y = f (x) в точке x ₀ равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к линии y = f (x) в точке M₀(x ₀; y (x ₀)).

Тогда, используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M₀(x ₀; y ₀) с известным угловым коэффициентом K_кас = y '(x ₀), можно записать уравнение касательной к линии y = f (x) в точке M₀(x ₀; f (x ₀)):

y = f (x ₀) + f ' '(x ₀) × (x - x ₀)

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M₀(x ₀; f (x ₀)):

y = f (x ₀) - ,

используя условие перпендикулярности прямых: K_норм = -

6 вопрос:

используя уравнение прямой, проходящей через заданную точку M0(x0;y0) с известным угловым коэффициентом Kкас = y'(x0), можно записать уравнение касательной к линии y = f(x) в точке M0(x0;f(x0)):

y = f(x0) + f' '(x0) × (x-x0)

Аналогично, можно записать уравнение нормали – прямой, перпендикулярной касательной и проходящей через точку касания M0(x0;f(x0)):

y = f(x0) -,

используя условие перпендикулярности прямых: Kнорм = -

…………………………………………………………………………..

7 вопрос:

Таблица производных основных элементарных функций

1. (c)' =0

2. (x ^a) = a× x ^a-1

3. (a^x)' = a^x ×ln a, (a >0, a # 1)

4. (e^x)' = e^x

5. (lo g_ax)' = , (a >0; a # 1)

6. (ln x)' =

7. (sin x)' =cos x

8. (cos x)' = - sin x

9. (t gx)' =

10. (ct gx)' = -

11. (a rcsin x)' =

12. (a rccos x)' = -

13. (a rct gx)' =

14. (a rcct gx)' = -

1)

Вывод: ;

Вывод: ;

Функция y = a rcsin x дифференцируема при любом x Î(-1;1) и справедлива формула:

Доказательство: Функция y = a rcsin x определена при x Î[-1;1] и область ее значений . Она монотонно возрастает на всей области ее определения, поэтому имеет обратную функцию x = sin y. Уравнение x = sin y можно рассматривать как неявное задание функции y = a rcsin x. Найдем производную от обеих частей уравнения:

.

Выразим из полученного равенства y ':

.

Но при .

Поэтому , так как .

Следовательно, получаем:

.второй замечательный предел и свойства логарифма).

8 вопрос: