Модуль9. Дисперсионный анализ

Дисперсионным анализом называется статистический метод анализа результатов испытаний, цель которого – оценить влияние одного или нескольких качественных факторов на рассматриваемую величину X.

Схема однофакторного дисперсионного анализа рассмотрена ниже на примере исследования влияния различных видов рекламы на прибыль предприятия.

Если разделить виды рекламы на несколько групп (уровней фактора) и через одинаковые интервалы времени измерять прибыль, то результа­ты можно представить в виде таблицы:

Номер измерения	Уровни фактора
Ф1	Ф2	···	Ф р
	х 11	х 12	···	х 1 р
	х 21	х 22	···	х 2 р
·	·	·	·	·
·	·	·	·	·
·	·	·	·	·
q	xq l	xq 2	···	xqp
Групповая средняя	г1	г2	···	г р

Число измерений на каждом уровне считаем одинаковым и равным q.

В последней строке помещены групповые средние для каждого уровня фактора.

Общую среднюю можно получить как среднее арифметическое груп­повых средних:

На разброс прибыли относительно общей средней влияют как изменения уровня рассматриваемого фактора, так и случайные факторы. Для того чтобы учесть влияние данного фактора, общая выборочная дисперсия разбивается на две части, первая из которых называется факторной (), а вторая – остаточной ().

С целью учета этих составляющих вначале рассчитываются общая сумма квадратов отклонений вариант от общей средней

(9.1)

и факторная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей средней, которая и характеризует влияние данного фактора,

. (9.2)

Последнее выражение получено путем замены каждой варианты в выражении R _общ групповой средней для данного фактора.

Остаточная сумма квадратов отклонений получается как разность

R _ост = R _общ – R _ф.

Для определения общей выборочной дисперсии необходимо R _общ разделить на число измерений pq:

а для получения несмещенной общей выборочной дисперсии это выражение нужно умножить на pq /(pq – 1):

где pq – 1 — число степеней свободы несмещенной общей выборочной дисперсии.

Соответственно, для несмещенной факторной выборочной дисперсии

где р – 1 – число степеней свободы несмещенной факторной выборочной дисперсии.

Для несмещенной остаточной выборочной дисперсии число степеней свободы будет равно разности

pq – 1 – (р – 1) = p (q – 1),

и выражение дисперсии примет вид

С целью оценки влияния фактора на изменения рассматриваемого параметра рассчитывается величина

Так как отношение двух выборочных дисперсий и распределено по закону Фишера – Снедекора, то полученное значение сравнивают со значением функции распределения F = / в критической точке f _кр, соответствующей выбранному уровню значимости (см. Приложение 5). Если f _набл > f _кр то фактор оказывает существенное воздействие и его следует учитывать, в противном случае он оказывает незначительное влияние, которым можно пренебречь.

Для расчета R _общ и R _ф могут быть использованы также формулы

, (9.3)

. (9.4)

__________

9.1. Для проверки влияния внутрицехового оформления на качество продукции рассмотрены три участка по производству однотипной продукции и проведена выборочная проверка процента брака за пять месяцев. Результаты помещены в табл. 5.1.

Методом дисперсионного анализа при уровне значимости = 0,05 проверить нулевую гипотезу о существенном влиянии оформления участка на качество продукции.

Таблица9.1

Номер измерения	Уровни фактора
Ф1	Ф2	Ф3
Групповая средняя	2,4	4,2	4,6

Решение. Находим общую среднюю:

= (2,4 +4,2+ 4,6)/3 = 3,73.

Для расчета R _общ по формуле (5.3) составляем таблицу квадратов вариант:

Номер измерения	Уровни фактора
Ф1	Ф2	Ф3

Вычисляем R _общ.