Линейная регрессия с несгруппированными данными

Регрессией Y на X или условным математическим ожиданием случайной величины Y относительно случайной величины X называется функция вида

M (Y / x) = f (x).

Регрессией X на Y называется функция вида

М (Х / у) = (y).

Оценками этих функций являются выборочные уравнения регрессии, или условные средние,

, .

На практике часто используются выборочные уравнения линейной регрессии в виде

, (8.1)

. (8.2)

Для определения параметров и в уравнении (8.1) используется получаемая на основании метода наименьших квадратов система двух линейных уравнений

откуда находятся выражения для и :

(8.3)

. (8.4)

Аналогично находятся параметры ₁ и ₁ для функции

Для оценки связи между случайными величинами обычно используется выборочный коэффициент корреляции.

Введем в рассмотрение выборочный эмпирический корреляционный момент

.

Раскроем скобки и учтем, что

, .

Тогда

=

= (8.5)

Выборочный коэффициент корреляции представляет собой отношение

.

__________

8.1. С целью анализа взаимного влияния зарплаты и текучести рабочей силы на пяти однотипных фирмах с одинаковым числом работников проведены измерения уровня месячной зарплаты X и числа уволившихся за год рабочих Y:

X
Y

Найти линейную регрессию Y на X и выборочный коэффициент корреляции.

Решение. Составляем расчетную таблицу:

i	xi	yi		xiyi
L

Определяем и :

= [(5 · 24,75 – 150) · 10³]/(5 · 22,5 · 10⁴ – 10⁶) = – 0,21;

= (22,5 · 10⁴ · 150 – 10³ · 24,75 · 10³)/(5 · 22,5 · 10⁴ – 10⁶) = 72.

Выборочное уравнение регрессии примет вид

_х = – 0,21 x + 72.

Из расчетной таблицы следует, что

= 1000/5 = 200, = 150/5 = 30.

По формуле (4.5) находим

= (24750 – 5 · 200 · 30)/5 = –1050.

Найдем d_x = , d_y = по формулам d_x = – ()², d_y = – ()²:

d_x = 22,5 · 10⁴/5 – 200² = 5000, d_y =5850/5 – 30² = 270.

Откуда

Таким образом, .