Сравнение двух математических ожиданий

Пусть имеются две выборки x ₁, x ₂,..., х_n и у ₁, у ₂,…, у_m, полученные в результате независимых испытаний. По этим данным рассчитаны оценки и , а также и . В предположении, что случайные величины X и Y распределены по нормальному закону X = N (a_x, ) и Y = N (a_y, ), требуется проверить на основании выборочных данных гипотезу Н ₀: а_х = а_у при условии, что гипотеза о равенстве дисперсий не отвергается.

__________

7.4.5. Средний ежедневный объем продаж за I квартал текущего года для 17 торговцев района А составляет 15 тыс. руб. при «исправленном» среднем квадратичном отклонении 2,5 тыс. руб., а для 10 торговцев района В – 13 тыс. руб. при «исправленном» среднем квадратичном отклонении 3 тыс. руб. Каждую группу можно считать случайной независимой выборкой из большой совокупности. Существенно ли различие объемов продаж в районах А и В при 5% -м уровне значимости?

Решение. Предположим, что ежедневный объем продаж подчинен нормальному закону распределения. Математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение законов распределения для районов А и В неизвестны. Предположим, что дисперсии объемов продаж одинаковы. В этих условиях возникает задача оценки статистической гипотезы Н ₀: а_х = а_у при альтернативной Н ₁: а_х а_у если принять за а_х математическое ожидание объема продаж для района А, за а_у – для района В.

Выборочные средние и являются независимыми нормально распределенными случайными величинами. В этом случае в качестве критерия используют функцию

где .

Функция Т подчинена t -распределению для l – m + n – 2 степеней свободы.

По таблице t -распределения (см. Приложение 6) для l = 17 + 10 – 2 = 25 и 5% -го уровня значимости (для двусторонней критической области) находим t _kp = 2,06. Это значит, что критическая область есть интервал и .

Вычислим t_r:

Полученное значение критерия t_r не принадлежит критической области, следовательно, разность несущественна и гипотеза Н ₀: а_х = а_у принимается. В качестве общей средней выборочной принимают величину

.

7.4..6. В условиях задачи 3.5 выяснить, существенно ли при 5%-м уровне значимости превышение объема продаж в районе А по сравнению с объемом в районе В.

Решение. Вопрос, в данной задаче отличается от вопроса в задаче 3.5 тем, что альтернативной к гипотезе Н ₀: а_х = а_у становится не гипотеза Н ₁: а_х а_у, а гипотеза Н ₁: а_х > а_y. В этом случае критическая область односторонняя (в частности, правосторонняя), для l = 25 и = 0,05 имеем критическую область (1,708; ). Так как t_r = 1,86 > 1,708, то величина t_r входит в критическую область, поэтому превышение объема продаж в районе А по сравнению с объемом в районе В существенно и гипотеза Н ₀: а_х = а_у отвергается.

7.4..7. Фирма предлагает автоматы по розливу напитков. При выборке n – 16 найдена средняя величина = 182 г дозы, наливаемой в стакан автоматом № 1. По выборке m = 9 найдена средняя величина = 185 г дозы, наливаемой в стакан автоматом № 2. По утверждению изготовителя, случайная величина наливаемой дозы имеет нормальный закон распределения с дисперсией, равной = 25 г². Можно ли считать отличия выборочных средних случайной ошибкой при уровне значимости = 0,01?

Решение. Пусть а_х и а_у – математические ожидания доз, наливаемых автоматом № 1 и автоматом № 2. Нулевая гипотеза в данном случае Н ₀: а_х = а_у при альтернативных Н ₁: а_х а_у и Н ₁; а_х < а_у. Дисперсия известна: ² = 25. В качестве критерия справедливости статистической гипотезы выбирается функция

,

распределенная по нормальному закону с параметрами (0, 1).

1. Рассмотрим вначале гипотезу Н ₀: а_х = а_у для альтернативной H ₁: а_х < а_у. В этом случае критическая область имеет вид (, ) где определяется из условия P (Z < ) = .

Так как функция Лапласа – нечетная функция, т.е. Ф (– z) = – Ф (z), а таблица этой функции содержит только положительные значения, то найдем вначале .

Для этого вычислим значение функции Лапласа в критической точке:

Ф () = 0,5 – = 0,49. Откуда = 2,33. Значит, левосторонняя критическая область будет (; –2,33). Рассчитаем z_r:

Полученное значение z_r = – 1,44 не входит в критическую область (; –2,33), поэтому нулевая гипотеза принимается.

2. Рассмотрим гипотезу Н ₀: а_х = а_у при альтернативной Н ₁: а_х а_у. В этом случае критическая область двусторонняя и имеет вид (, ) (; ). Величины и рассчитываются из условий

P (Z < ) = и P (Z > ) = .

Воспользовавшись таблицей значений функции Лапласа (см. Приложение 2), имеем

Ф() = 0,5 – = 0,495, = 2,57.

Критическая область имеет вид (; –2,57) (2,57; ). Значение z_r = –1,44 не попадает в критическую область, поэтому нулевая гипотеза принимается.