Метод моментов

При заданном виде закона распределения случайной величины X неизвестные параметры этого распределения можно оценить, т.е. выразить как функцию вариант выборки, на основе метода моментов.

Этот метод состоит в том, что приравниваются соответствующие теоретические и эмпирические моменты и из полученных уравнений находятся оценки параметров. В случае одного параметра в теоретическом распре­делении для его оценки достаточно составить одно уравнение. Если имеются два параметра в теоретическом распределении, то нужно приравнять соответственно два теоретических и эмпирических момента и т.д.

Для оценки двух параметров закона распределения запишем следующие равенства:

v ₁ = М ₁, ,

где v ₁ – начальный момент первого порядка закона распределения случайной величины;

М ₁ – эмпирический момент первого порядка;

– центральный момент второго порядка закона распределения случайной величины;

m ₂ – центральный эмпирический момент второго порядка.

Так как v ₁ = М_х – математическое ожидание случайной величины X, = D_x – дисперсия величины X, a M ₁ = , m ₂ = d _в, то получаем два уравнения:

М_х = , D_x = d _B.

6.3. На предприятии изготавливается определенный вид продукции. Ежемесячный объем выпуска этой продукции является случайной величиной, для характеристики которой принят показательный закон распределения

f (x) = (х 0).

В течение шести месяцев проводился замер объемов выпуска продукции, получены следующие данные:

Месяц
Объем выпуска

Найти оценку параметра .

Решение. Так как закон распределения содержит лишь один параметр , то для его оценки требуется составить одно уравнение.

Находим выборочную среднюю:

= (20 + 24 + 25 + 28 + 27 + 32)/6 = 26.

Определяем математическое ожидание:

.

Интегрируя по частям, получаем

,

откуда

. (6.1.)

Равенство (2.1) является приближенным, так как правая часть его является случайной величиной. Таким образом, из уравнения (2.1) получается не точное значение , а его оценка *:

.

Итак, 1/ * = 26, откуда * = 1/26.