Доказательство. Применим теорему о среднем (свойство 9

Применим теорему о среднем (свойство 9.) к интегралу Получаем, что , где Делим обе части последнего равенства на и переходим к пределу при :

так как при переменная Следовательно, в точке существует производная , причем

Таким образом, доказано важное свойство:

Производная определенного интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу равна подынтегральной функции, вычисленной при верхнем пределе:

= (2)

Замечание. Из доказанного свойства следует, в частности, что всякая непрерывная функция имеет первообразную. Согласно п. 5. 2. для непрерывной на [a, b] функции существует определенный интеграл то есть существует функция Так как то является первообразной для на отрезке [a, b].

Формула Ньютона – Лейбница

Эта формула имеет вид

(1)

Здесь - непрерывная на отрезке функция, а - какая-либо ее первообразная на этом отрезке.

Формула Ньютона – Лейбница была уже доказана в § 6.1. Там предполагалось известным, что непрерывная на функция интегрируема и имеет первообразную на .

Теперь мы уже знаем из § 6.3, что интегрируемость непрерывной на функции влечет за собой существование у нее первообразной на .

Приведем другое доказательство формулы Ньютона – Лейбница. Вернемся к функции

. (2)

Заметим, что

. (3)

Кроме того, мы знаем, что есть первообразная для на . Поэтому, если есть какая-либо, вообще другая, первообразная, то существует константа такая, что

. (4)

Из (2), (3), (4) получим

,

и мы доказали формулу (1).

П р и м е р 1.