Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Пусть на отрезке [a, b] задана интегрируемая функция . Известно, что определенный интеграл с геометрической точки зрения численно равен площади криволинейной трапеции.

Будем считать, что нижний предел закреплен, а верхний предел меняется. Тогда будет меняться и значение интеграла, то есть он будет функцией верхнего предела интегрирования. Зададим любе значение из отрезка [a, b] и введем в рассмотрение интеграл с переменным верхним пределом:

(1)

(От обозначения переменной интегрирования под знаком интеграла величина интеграла не зависит).

Если , то величина численно равна площади криволинейной трапеции (рис. 7).

Очевидно, что эта площадь меняется в зависимости от изменения .

Рассмотрим свойства интеграла

1. Функция непрерывна на [a, b].

Для доказательства фиксируем любую точку отрезка и зададим приращение . При этом функция получит приращение

(свойство 5)=

Устремим , тогда (свойство 2). Это и означает непрерывность функции

2. Функция дифференцируема на отрезке [a, b].