Классы интегрируемых функций (монотонные, непрерывные на отрезке)

Классы интегрируемых функций

Непрерывные функции.

Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезки [a,b] функция интегрируема на этом отрезке.

Доказательство. Как ранее отмечалось

S(f,D) - s(f,D) = , wk (f) = Mk – mk.

По теореме Кантора для " e > 0 $ d > 0 такое, что при l(D)<d будет выполнено неравенство wk(f)< e / (b – a). Тогда

S(f,D) - s(f,D) = < =e.

2.Монотонные ограниченные функции и некоторые другие классы интегрируемых функций.

Теоремы 2. Любая монотонная ограниченная функция является интегрируемой функцией.

Доказательство. Пусть f монотонно возрастает, тогда

S(f,D) - s(f,D) = = = <l(D) =l(D)(f(b) – f(a)),

откуда и следует интегрируемость с учетом теоремы Дарбу.

Теорема 3. Любая ограниченная функция, имеющая конечное число разрывов интегрируема.

Доказательство. Пусть функция f(x) ограничена на [a,b], |f(x)| £ M и имеет p точек разрыва {uk}. Для упрощения доказательства будем предполагать, что все точки разрыва внутренние. Пусть e > 0, рассмотрим непересекающиеся окрестности точек разрыва {(uk - g, uk +g)} с суммарной длиной 2g p < e, будем также предполагать, что все эти окрестности лежат в интервале (a,b). Функция f равномерно непрерывна на дополнении D = [a,b]\ , поэтому существует d > 0 такое, что |f(x¢¢)-f(x¢)|<e при | x¢¢ - x¢ |< d, x¢¢, x¢ Î D. Представим S – s в виде трех сумм

S – s = S wk(f) D xk =S¢ + S¢¢ + S¢¢¢.

Через S¢ обозначена часть суммы S wk(f) D xk, для которой [xk,xk+1]ÌD.

Через S¢¢ - часть суммы S wk(f) D xk, для которой [xk,xk+1]Ì .

Через S¢¢¢ обозначена часть суммы S wk(f) D xk, содержащая остальные слагаемые. Имеем

S¢ £ S¢ e D xk = (b – a) e, S¢¢ £ S¢¢ 2M D xk = 2M S¢¢ D xk < 2M e,

S¢¢¢ £ S¢¢¢ 2M D xk = 2M S¢¢ D xk < 2M 2p e. Таким образом, для разбиения выбранной мелкости справедливо неравенство

S – s < (b – a +2M +4Mp) e. По теореме Дарбу функция интегрируема.

Теорема 4. Ограниченная, имеющая счетное число разрывов функция интегрируема.

Без доказательства.

12.Основные свойства определённого интеграла.