![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
К основным задачам линейной алгебры можно отнести задачи:
-Решения систем линейных алгебраических уравнений.
-Нахождение обратных матриц, а также приведение матриц к каноническому виду (диагональному или к форме Жордана).
-Нахождение собственных значений и собственных функций матриц.
Метод Гаусса. Этот метод иногда называют методом исключения неизвестных. Суть этого метода состоит в том, чтобы сначала из первого уравнения выразить через коэффициенты матрицы, правую часть и
,
. Подставив это выражение для
в остальных уравнениях, можно получить другую систему линейных алгебраических уравнений порядка
. Таким образом можно получить одно линейное уравнение относительно
, которое решается тривиально. Вычислив
через коэффициенты матрицы
и правую часть
, используя полученные ранее выражения для
через
,
через
и
и т.д., можно вычислить все
,
. Условием для выполнения этого метода является возможность осуществлять выражение
.
Метод прогонки. Для уравнениях, где матрица является трехдиагональной, существует очень эффективный алгоритм, называемый методом прогонки.
Пусть нам необходимо решить следующее уравнение
![]() | (12.2) |
Сначала мы определяем прогоночные коэффициенты и
согласно следующим рекуррентным соотношениям
После вычисления прогоночных коэффициентов можно рекуррентно вычислить и решения уравнения 12.2
Метод Гаусса—Зейделя является классическим итерационным методом решения системы линейных уравнений.
Возьмём систему: , где
Или
И покажем, как её можно решить с использованием метода Гаусса-Зейделя.
Метод
Чтобы пояснить суть метода, перепишем задачу в виде:
Здесь в -м уравнении мы перенесли в правую часть все члены, содержащие
, для
. Эта запись может быть представлена:
где в принятых обозначениях означает матрицу, у которой на главной диагонали стоят соответствующие элементы матрицы
, а все остальные нули; тогда как матрицы
и
содержат верхнюю и нижнюю треугольные части
, на главной диагонали которых нули.
Итерационный процесс в методе Гаусса-Зейделя строится по формуле после выбора соответствующего начального приближения
.
Метод Гаусса-Зейделя можно рассматривать как модификацию метода Якоби. Основная идея модификации состоит в том, что новые значения используются здесь сразу же по мере получения, в то время как в методе Якоби они не используются до следующей итерации:
где
Таким образом, i-тая компонента -го приближения вычисляется по формуле:
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1677 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!