Построение кубического интерполяционного сплайна

Некоторая функция f (x) задана на отрезке , разбитом на части , . Кубическим сплайном дефекта 1 называетсяфункция , которая:

на каждом отрезке является многочленом степени не выше третьей;

имеет непрерывные первую и вторую производные на всём отрезке ;

в точках выполняется равенство , т. е. сплайн интерполирует функцию f в точках .

Для однозначного задания сплайна перечисленных условий недостаточно, для построения сплайна необходимо наложить какие-то дополнительные требования.

Естественным кубическим сплайном называется кубический сплайн, удовлетворяющий также граничным условиям вида:

Построение:

Обозначим:

На каждом отрезке функция есть полином третьей степени , коэффициенты которого надо определить. Запишем для удобства в виде:

тогда

Условия непрерывности всех производных до второго порядка включительно записываются в виде



а условия интерполяции в виде

Отсюда получаем формулы для вычисления коэффициентов сплайна:

Если учесть, что , то вычисление можно провести с помощью метода прогонки для трёхдиагональной матрицы.

2.