Решение. 1) Составим экономико-математическую модель задачи

1) Составим экономико-математическую модель задачи. Обозначим через Х₁, Х₂, Х_3, Х₄ количество весовых единиц четырех видов продукции, которые планируется изготовить. Тогда прибыль, полученная от реализации выпущенной продукции, будет равна:

(9. 1)

Переменные должны удовлетворять ограничениям, накладываемым на расход имеющихся в распоряжении предприятия ресурсов сырья, что выражается неравенствами:

(9.2)

По смыслу задачи

(9.3)

Таким образом, условия (9. 1) – (9.3) определяют экономико-математическую модель поставленной задачи.

2) Решим задачу линейного программирования (9.1)–(9.3) симплексным методом. Для этого перейдем к канонической форме записи задачи линейного программирования, введя дополнительные (балансовые) переменные , которые означают возможные остатки ресурсов сырья:

(9.1′)

(9.2′)

. (9.3′)

Составим начальную симплексную таблицу по данным математической модели (9. 1′)–(9. 3′).

Таблица 9.6

БП	СБ	Ао	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Θ
Х5
Х6
Х7
Zj–Cj		–6	–9	–6	–8

Этой симплексной таблице соответствует опорный план , который не является оптимальным, так как в индексной строке Z_j–C_j есть отрицательные элементы. Построим новый опорный план, более близкий к оптимальному. Для этого выполним симплексные преобразования таблицы 1. Наибольший по модулю отрицательный элемент индексной строки (–9) указывает на то, что переменную надо ввести в число базисных переменных (т.е. столбец, соответствующий переменной , берем в качестве разрешающего). Чтобы определить переменную, которую необходимо вывести из числа базисных, составляем симплексные отношения и выбираем наименьшее из них:

.

Следовательно, из базиса выводим переменную Х₇, а соответствующий столбец называем разрешающим. На пересечении разрешающего столбца и разрешающей строки находится разрешающий (ключевой) элемент 4. С помощью разрешающего элемента выполняем симплексные преобразования, которые приводят к таблице 9.7.

Таблица 9.7

БП	СБ	Ао	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Θ
Х5			2,5		–1,5				–0,5
Х6			–0,25		0,25	0,5			–0,75
Х2			0,75		1,25	0,5			0,25
Zj–Cj		0,75		5,25	–3,5			2,25

Полученный опорный план не является оптимальным, так как в индексной строке есть отрицательный элемент (–3,5), который соответствует переменной Х₄ (а соответствующий столбец будет разрешающим). Определим разрешающую строку, выбрав из симплексных отношений наименьшее:

.

Таким образом, в качестве разрешающей строки необходимо взять строку, соответствующую переменной Х₅. Это означает, что базисную переменную Х₅ необходимо заменить свободной переменной Х₄. Проводя симплексные преобразования, мы придем к таблице 9.8.

Таблица 9.8

БП	СБ	Ао	Х1	Х2	Х3	Х4	Х5	Х6	Х7	Θ
Х4
Х6
Х2
Zj-Cj		2,94		3,94		0,88		1,81
		Y4	Y5	Y6	Y7	Y1	Y2	Y3

В полученной симплексной таблице в индексной строке нет отрицательных элементов, поэтому опорный план является оптимальным, он является единственным, так как все индексные оценки свободных переменных больше 0.

Вывод. Максимальная возможная прибыль предприятия (в имеющихся условиях) будет 125 денежных единиц, если оно произведёт 5 единиц измерения продукции 2-го вида и 10 единиц измерения продукции 4-го вида, а продукцию 1-го и 3-го видов вообще выпускать не будет. При таком плане производства ресурсы 1-го и 3-го видов будут израсходованы полностью (), но останется неизрасходованным ресурс 2-го вида в объеме 5 единиц измерения ().

3) Составим математическую модель двойственной задачи. Запишем матрицу математической модели исходной задачи.

.

Тогда, чтобы получить матрицу математической модели двойственной задачи, необходимо матрицу А транспонировать (т.е. поменять местами соответствующие строки и столбцы).

.

Обозначив через – (прикидочные) цены ресурсов, по матрице строим математическую модель двойственной задачи.

(9.4)

(9.5)

(9.6)

Перейдем к канонической форме записи математической модели двойственной задачи введя дополнительные (балансовые) переменные , которые означают возможные превышения затрат на производство 1 единицы измерения каждого вида продукции над прибылью, получаемой предприятием.

(9.4′)

(9.5′)

(9.6′)

Из 1-й теоремы двойственности следует, что если решена одна из пары взаимодвойственных задач симплексным методом, то по последней симплексной таблице можем получить и компоненты оптимального плана двойственной задачи (они находятся в индексной строке). При этом необходимо использовать соответствие между переменными пары взаимодвойственных задач:

.

Для нашей задачи имеем оптимальный план двойственной задачи:

.

4) Оценки для 1-го и 3-го видов ресурсов положительные. Это указывает, что эти виды ресурсов наиболее дефицитные (и используются полностью). Увеличение объема ресурса 1-го вида на одну единицу измерения позволило бы получить увеличение максимальной прибыли предприятия на 0,88 денежных единиц; а для ресурса 3-го вида соответственно на 1,81 денежную единицу. Равенство нулю оценки для ресурса 2-го вида () говорит о том, что дальнейшее увеличение объема этого вида ресурса не повлияет на прибыль предприятия (ресурс 2-го вида при оптимальном плане производства остается в избытке).

Дополнительные двойственные переменные являются мерой убыточности продукции, которую согласно оптимальному плану нецелесообразно выпускать. Так как = 2,94, то это говорит, что на производстве 1 единицы продукции 1-го вида терпит убытки в количестве 2,94 денежные единицы. Следовательно, при необходимости производства продукции 1-го вида для ее рентабельности необходимо повысить цену на эту продукцию не менее чем на 2,94 денежные единицы.

Так как =3,94, то это говорит, что на производстве 1-й единицы продукции 3-го вида предприятие терпело убытки в объеме 3,94 денежные единицы (поэтому оно и не планирует эту продукцию производить). При необходимости производство этого вида продукции цена ее реализации должна быть увеличена не менее чем на 3,94 денежные единицы.