Вектор ұзындығы және бағыттаушы косинустары

Егер М нүктесі арқылы координата остеріне перпендикуляр жазықтықтар жүргізсек, онда олар жазықтықтың координаталарымен бірге, диагоналі ОМ кесіндісі болатын, тік бұрышты параллелепипед құрайды. Элементар геометриядан білетініміздей, тік бұрышты параллелепиптің диагоналінің квадраты оның үш өлшемінің квадраттарының қосындысына тең. Сондықтан,

| OM |² | OM 1 |² | OM 2 |² | OM 3 |²

бірақ OM | a |, OM ₁| X |, OM 2 | Y |, OM 3 | Z |.

Сонымен, алатынымыз

| a |² X ² Y ² Z ²

немесе

| a | X ² Y ² Z ².

Бұл формула кез келген вектордың ұзындығын оның координаталары арқылы өрнектейді.

,,

арқылы a OM

векторы

мен

координата остері

арасындағы бұрыштарды белгілейміз, яғни

(Ox,

a

), (Oy,

a

), (Oz,

a

).

Онда алатынымыз,

x

X

y

Y

cos

, cos

,

| a |

X 2 Y 2 Z 2

| a |

X 2 Y 2 Z 2

cos

z

Z

.

| a |

X 2 Y 2 Z 2

cos,cos,cos

мәндері

a

OM

векторының бағыттаушы

косинустары деп аталады. Жоғарыдағы теңдіктің әрқайсысының оң және сол жағын кватраттап нәтижелерін қосу арқылы алатынымыз

cos ² cos ² cos² =1.

Кез келген А(х₁;y₁;z₁) және В(х₂;y₂;z₂) нүктелерін қарастырайық. Онда вектордың координаталарын анықтау

формулалары бойынша AB x ₂ x ₁; y ₂ y ₁; z ₂ z ₁.

Ұзындығы | AB | (x ₂ x ₁) ² (y ₂ y ₁) ² (z ₂ z ₁)².