![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Поставим перед собой следующую задачу.
Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана точка , прямая a и требуется написать уравнение плоскости
, проходящей через точку М1 перпендикулярно к прямой a.
Сначала вспомним один важный факт.
На уроках геометрии в средней школе доказывается теорема: через заданную точку трехмерного пространства проходит единственная плоскость, перпендикулярная к данной прямой (доказательство этой теоремы Вы можете найти в учебнике геометрии за 10 - 11 классы, указанном в списке литературы в конце статьи).
Теперь покажем, как находится уравнение этой единственной плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Мы можем написать общее уравнение плоскости, если нам известны координаты точки, лежащей в этой плоскости, и координаты нормального вектора плоскости.
В условии задачи нам даны координаты x1, y1, z1 точки М1, через которую проходит плоскость . Тогда, если мы найдем координаты нормального вектора плоскости
, то мы сможем составить требуемое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной прямой.
Любой направляющий вектор прямой a представляет собой нормальный вектор плоскости , так как он ненулевой и лежит на прямой a, перпендикулярной к плоскости
. Таким образом, нахождение координат нормального вектора плоскости
сводится к нахождению координат направляющего вектора прямой a.
В свою очередь, координаты направляющего вектора прямой a могут определяться различными способами, зависящими от способа задания прямой a в условии задачи. Например, если прямую a в прямоугольной системе координат задают канонические уравнения прямой в пространстве вида или параметрические уравнения прямой в пространстве вида
, то направляющий вектор этой прямой имеет координаты ax, ay и az; если же прямая a проходит через две точки
и
, то координаты ее направляющего вектора определяются как
.
Итак, получаем алгоритм для нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку
перпендикулярно к заданной прямой a:
· находим координаты направляющего вектора прямой a ();
· принимаем координаты направляющего вектора прямой a как соответствующие координаты нормального вектора плоскости
(
, где
);
· записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор
, в виде
- это и есть искомое уравнение плоскости, проходящей через заданную точку пространства перпендикулярно к заданной прямой.
Из найденного общего уравнения плоскости вида можно, при необходимости, получить уравнение плоскости в отрезках и нормальное уравнение плоскости.
Дата публикования: 2015-02-28; Прочитано: 401 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!