Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую и заданную точку

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, задана прямая a и точка , не лежащая на прямой a. Поставим перед собой задачу: получить уравнение плоскости , проходящей через прямую a и точку М₃.

Сначала покажем, что существует единственная плоскость, уравнение которой нам требуется составить.

Напомним две аксиомы:

· через три различные точки пространства, не лежащие на одной прямой, проходит единственная плоскость;

· если две различные точки прямой лежат в некоторой плоскости, то все точки этой прямой лежат в этой плоскости.

Из этих утверждений следует, что через прямую и не лежащую на ней точку можно провести единственную плоскость. Таким образом, в поставленной нами задаче через прямую a и точку M₃ проходит единственная плоскость , и нам требуется написать уравнение этой плоскости.

Теперь приступим к нахождению уравнения плоскости, проходящей через заданную прямую a и точку .

Если прямая a задана через указание координат двух различных точек М₁ и М₂, лежащих на ней, то наша задача сводится к нахождению уравнения плоскости, проходящей через три заданные точки М₁, М₂ и М₃.

Если же прямая a задана иначе, то нам сначала придется найти координаты двух точек М₁ и М₂, лежащих на прямой a, а уже после этого записать уравнение плоскости, проходящей через три точки М₁, М₂ и М₃, которое и будет искомым уравнением плоскости, проходящей через прямую a и точку М₃.

Разберемся, как найти координаты двух различных точек М₁ и М₂, лежащих на заданной прямой a.

В прямоугольной системе координат в пространстве любой прямой линии соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве. Будем считать, что способ задания прямой a в условии задачи позволяет получить ее параметрические уравнения прямой в пространстве вида . Тогда, приняв , имеем точку , лежащую на прямой a. Придав параметру отличное от нуля действительное значение, из параметрических уравнений прямой a мы сможем вычислить координаты точки М₂, также лежащей на прямой a и отличной от точки М₁.

После этого нам останется лишь написать уравнение плоскости, проходящей через три различных и не лежащих на одной прямой точки и , в виде .

Итак, мы получили уравнение плоскости, проходящей через заданную прямую a и заданную точку М₃, не лежащую на прямой a.