Нахождение уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости

Задача нахождения уравнения плоскости, проходящей через заданную точку пространства параллельно заданной плоскости, возникает из следующей теоремы: через любую точку пространства, не лежащую в данной плоскости, проходит единственная плоскость, параллельная данной. Доказательство этой теоремы можно найти в учебнике геометрии для 10 - 1 1 классов, указанном в конце статьи.

Пусть в трехмерном пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz, в ней задана плоскость и точка , не лежащая в плоскости . Поставим перед собой задачу: написать уравнение плоскости , проходящей через точку параллельно плоскости .

Решим ее.

Нам известно, что общее уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор плоскости , имеет вид . Таким образом, мы сможем записать требуемое уравнение плоскости , если определим координаты ее нормального вектора.

При изучении темы «нормальный вектор плоскости» мы отметили, что нормальный вектор одной из двух параллельных плоскостей является нормальным вектором второй плоскости. Следовательно, в силу параллельности плоскостей и , нормальным вектором плоскости является любой нормальный вектор заданной плоскости . Таким образом, задача составления уравнения плоскости , проходящей через заданную точку М₁ параллельно заданной плоскости , сводится к определению координат нормального вектора плоскости . В свою очередь координаты нормального вектора плоскости проще всего получить, если иметь перед глазами общее уравнение плоскости вида . В этом случае коэффициенты A, B, C перед переменными x, y, z являются соответствующими координатами нормального вектора плоскости .

Итак, запишем алгоритм нахождения уравнения плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости :

· получаем общее уравнение плоскости в виде (если оно нам уже не дано в условии) и записываем ее нормальный вектор ;

· принимаем этот вектор в качестве нормального вектора плоскости ;

· записываем уравнение плоскости, проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , в виде - это и есть искомое уравнение плоскости , проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости.

Следует заметить, что если точка М₁ лежит в плоскости , то, действуя по записанному алгоритму, мы получим уравнение плоскости , которая совпадает с плоскостью .