Интегрирование рациональных функций

Правило интегрирования дробно-рациональной функции можно сформулировать в виде алгоритма:

1. Если дробь - неправильная, выделить целую часть и представить эту дробь в виде суммы целой части и правильной дроби.

2. Многочлен знаменателя правильной дроби представить в виде произведения простейших сомножителей.

3. Правильную дробь разложить на сумму простейших дробей.

4. Найти интеграл от полученной суммы.

Пример. Вычислить интеграл:

1. Дробь - неправильная, поэтому выделим целую часть:

тогда:

2. Представим знаменатель правильной дроби в виде произведения простейших множителей:

3. Правильную дробь представляем в виде суммы простейших дробей:

Освободимся от общего знаменателя:

Для нахождения неопределенных коэффициентов A, B, C, D составим систему из 4 уравнений комбинированным способом:

степени .

Решив эту систему, получим:

Таким образом:

4. Интегрируем полученную сумму:

Таким образом, для интегрирования рациональной дроби необходимо разложить её на простейшие дроби, которые есть в таблице интегралов.