Разложение многочлена с действительными коэффициентами на линейные и квадратичные множители

Теорема Безу (французский математик, 1730 - 1783).

При делении многочлена на разность получается остаток :

.

Следствие. Если - корень многочлена Р(х), то Р(х) делится нацело

на .

Всякий многочлен степени n может быть представлен в виде произведения n линейных множителей вида и постоянного числа - коэффициента при старшей степени х, т.е.:

где - корни многочлена Р(х).

Если корень многочлена повторяется, то он называется кратным (двукратным, трехкратным и т.д.). Если же корень не повторяется, то он называется простым.

Разложение многочлена, имеющего кратные корни, будет выглядеть следующим образом:

,

где - различные корни многочлена, - степень многочлена.

Если многочлен с действительными коэффициентами имеет комплексный

корень a + bi, то он имеет и сопряженный комплексный корень a - bi.

Чтобы доказать это, перемножим два множителя в разложении многочлена, соответствующие сопряженным комплексным корням:

.

В разложении многочлена можно заменить произведение линейных множителей, соответствующих сопряженным комплексным корням, квадратными трехчленами с действительными коэффициентами.

Таким образом, всякий многочлен с действительными коэффициентами можно представить в следующей форме:

где - действительные числа.

Целые корни многочлена можно найти среди делителей свободного члена.

Если все коэффициенты многочлена - целые, а коэффициент при старшей степени , то многочлен не имеет дробных рациональных корней.

Пример. Разложить на множители:

Многочлен имеет 3 корня: х₁ = 1, х₂ = -i, x₃ = i.