Ой метод А. М. Ляпунова для анализа устойчивости нелинейных САУ (прямой метод Ляпунова)

Вспомним определение устойчивости по Ляпунову.

Определение: Состояние равновесия x=x ₀ нелинейной свободной САУ называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого положительного ε (эпсилон) () существует положительная δ (дельта) (), такая, что для любого возмущения (x^*–x ⁰), удовлетворяющего условию , будет выполняться условие , начиная с некоторого момента (x^* – НУ).

Далее для определения устойчивости нелинейной САУ рассматривается 1 -ый метод Ляпунова, а именно, устойчивость по 1-ому приближению.

2-ой метод Ляпунова дает только достаточное условие устойчивости, т.е., если оно не выполняется, система все равно может быть устойчива. Данный метод связан со вспомогательной функцией, так называемой функцией Ляпунова.

Определение: Пусть вектор x – n -мерный вектор из области, в которой определена система (1). Скалярная функция V (x)= V (x ₁,…, x_n) называется знакоопределенной, если:

1) при x =0, V (0)=0;

2) при x ≠0, V (0)>0 (строго положительна), V – положительно определенная;

3) при x ≠0, V (0)<0 (строго отрицательна), V – отрицательно определенная.

Если указанные неравенства не являются строгими, т.е. V (0)≥0, V (0)≤0, то функция называется соответственно положительно или отрицательно полуопределенной.

Примеры: пусть n =3, т.е. .

1) – положительно определена (т.к. V (x)>0 при любых x, кроме нулевых, при x =0 V (0)=0).

2) – отрицательно полуопределена.

3) – никакая (V (0)=1≠0).

4) – не определена.

Теорема 1 (без доказательства). Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости

Если для исходной нелинейной системы (1) может быть найдена положительно определенная функция V (x ₁,…, x_n) такая, что производная по времени этой функции в силу исходных нелинейных ДУ (1) является отрицательно определенной, то положение равновесия x ₀=0 является асимптотически устойчивым.

Теорема 2 (без доказательства). Теорема об устойчивости по Ляпунову

Если в формулировке предыдущей теоремы функция V (x) положительно определена, а ее производная в силу системы отрицательно полуопределена, то положение равновесия x ₀=0 – устойчиво по Ляпунову.

Примечание:

Замечание 1: если положение равновесия x ₀≠0, то соответствующей заменой переменных можно преобразовать систему так, чтобы стало x ₀=0.

Замечание 2: вспомним, что асимптотическая устойчивость – более сильное свойство, т.к. она гарантирует большую определенность в поведении системы, т.е. при асимптотической устойчивости (стремится к асимптоте), а не к некой окрестности , как при обычной устойчивости.

Определение: Производной функции Ляпунова в силу исходного ДУ (1) называется:

где .

Данное определение логично и очевидно. Оно связывает функцию V (x ₁,…, x_n) с системой (1):

По правилам дифференцирования сложной функции нескольких переменных имеем:

где означает функцию от всех x.

Пример исследования устойчивости нелинейной САУ с помощью 2-го метода Ляпунова

Система 2-го порядка:

Положения равновесия:

Функция Ляпунова:

Покажем, что V (x) – положительно определенная.

V (0)=0 (т.е. при x ₁=0 и x ₂=0).

Покажем, что при x ₁≠0 или x ₂≠0 V (x ₁, x ₂)>0:

Т.о. V (x ₁, x ₂)>0.

По закону дифференцирования:

Окончательно:

1) 2) ( – или).

Вывод: т.о. нашлась положительно определенная функция, производная которой в силу исходной системы ДУ отрицательно определена, значит по теореме Ляпунова об асимптотической устойчивости состояние равновесия x ₀=0 – асимптотически устойчиво.