Задачи на использование метода оператора набла

Векторный дифференциальный оператор «набла» имеет компоненты и его можно представить в виде: . Алгебраические преобразования выражений, содержащих оператор «набла», проводятся по обычным правилам векторной алгебры, надо только учитывать, что «набла» - это дифференциальный оператор и по определению он должен стоять слева от функции, которую нужно продифференцировать. Так — это дивергенция поля , а — скалярный дифференциальный оператор: . Понятно, что

;

;

.

Оператор Лапласа - скалярный дифференциальный оператор второго порядка: .

С учетом свойств оператора «набла» легко убедиться, что для любых полей справедливо: , , . Надо иметь в виду, что последний член – это вектор с компонентами .

Преобразование выражений векторного анализа методом оператора набла проводится по следующей схеме:

1. Вместо операций grad, div, rotи вводим операции с использованием оператора набла:

2. Анализируем, на какие функции оператор набла действует как дифференциальный оператор. По определению эти функции должны располагаться в выражении справа от оператора набла. Если таких функций две и они перемножаются, представим оператор набла в виде суммы двух операторов, каждый из которых действует на “свою” функцию. Например:

3. Преобразуем полученные выражения, пользуюсь методами векторной алгебры. При этом не обращаем внимания на дифференциальный характер оператора набла и считаем его обычным вектором. В рассматриваемом примере:

4. Используя стандартные правила векторной алгебры, преобразуем полученные выражения с тем расчетом, чтобы операторы набла стояли слева от тех функций, на которые они действуют, и справа от тех, на которые они не действуют. Так:

=

=

5. Поскольку операторы набла оказываются в позициях, где они автоматически правильно действуют как дифференциальные операторы, убираем пометки у операторов набла и вводим при необходимости обозначения grad, div, rot и . В рассматриваемом примере окончательно получаем:

где

Задачи

6.1 Записать следующие выражения, используя вместо оператора набла операции grad, div, rot и :

6.1.1 ;

Ответ: .

6.1.2 ;

Ответ: .

6.1.3 ;

Ответ: .

6.1.4 ;

Ответ: .

6.1.5 ;

6.1.6 ;

6.1.7 ;

6.1.8 ;

6.1.9 ;

6.1.10 ;

6.1.11 ;

6.1.12 ;

6.1.13 ;

6.1.14 ;

6.1.15 .

6.2 Преобразовать выражение методом оператора набла и затем расписать в частных производных:

6.2.1 ;

Указание. В соответствии с перечисленными правилами работы с дифференциальным векторным оператором необходимо выполнить следующие преобразования:

=

.

Ответ:

6.2.2 ;

Указание. Рассмотрим вначале выражения для двух других величин:

; (1)

; (2)

Приступим теперь к получению выражения для .

.

С учетом полученных равенств (1) и (2) мы можем провести дальнейшие преобразования:

.

Ответ: .

6.2.3 ;

6.2.4 ;

6.2.5 ;

6.2.6 ;

6.2.7 ;

6.2.8 , где - постоянный вектор;

6.2.9 , где - постоянный вектор;

6.3 Расписать в частных производных:

6.3.1

6.3.2 ; ; ;

6.3.3 ;

6.3.4 ;

6.3.5 ;

6.3.6 ;

6.3.7 .

6.4 Найти напряженность электрического поля , если задан потенциал :

6.4.1 ;

6.4.2 .

6.5 Найти плотность электрических зарядов в вакууме , если задана напряженность электрического поля :

6.5.1 ;

6.5.2 .