Дивергенция векторного поля и теорема Остроградского-Гаусса

Вектор площадки направлен перпендикулярно площадке и равен по модулю ее площади. Этот вектор направлен по внешней нормали , если площадка является элементом замкнутой поверхности, в противном случае считается, что этот вектор связан с направлением обхода площадки правилом правого винта.

Поток DF векторного поля через площадку в точке равен

.

Поток F векторного поля через поверхность S равен сумме потоков этого поля через все площадки , на которые разбита поверхность S. При сумма превращается в интеграл по поверхности S:

, (3.1)

где — средняя точка на площадке .

В соответствии с определением (3.1) можно определить поток F _S векторного поля через замкнутую поверхность S:

. (3.2)

Используя понятие стягивающейся к точке замкнутой поверхности S, ограничивающий некий объем , можно ввести определения, независящие от выбора системы координат, следующих величин:

; (3.3)

; (3.4)

. (3.5)

Используя в ДСК в качестве стягивающейся к точке замкнутой поверхности S удобно выбрать поверхность параллелепипеда, длина ребер которого , в соответствии с чем и , из данных выше определений легко получить следующие выражения:

; (см. (2.2)

; (3.6)

= (3.7)

С другой стороны поток F_S векторного поля через замкнутую поверхность S может быть записан как сумма потоков через поверхности дифференциально малых объемов , на которые можно разбить замкнутый объем V, ограниченный поверхностью S: . Чтобы последняя сумма была интегральной (и для нее существовал предел при m ®µ), необходимо, чтобы потоки были пропорциональны соответствующим объемам .

Как следует из определения (3.4), дивергенция векторного поля в точке — это скаляр, равный: , где - средняя точка в объеме . Отсюда следует, что в пределе при сумма по m становится интегралом по объему V: . Представляя этот поток в виде интеграла по поверхности S, ограничивающей объем V, мы приходим к теореме Остроградского-Гаусса:

. (3.8)

Уравнение непрерывности – дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности r жидкости в каждой точке объема и дивергенцию произведения плотности и скорости жидкости в этой же точке: . Уравнение непрерывности выводится из закона сохранения массы с использованием теоремы Гаусса.

Закон сохранения электрического заряда в дифференциальной форме - дифференциальное уравнение в частных производных, связывающее скорость изменения плотности электрического заряда r в каждой точке и дивергенцию плотности электрического тока в этой же точке: . Выводится из закона сохранения заряда с использованием теоремы Гаусса.

Уравнение теплопроводности – дифференциальное уравнение для температуры, которое выводится с использованием теоремы Гаусса из закона сохранения тепловой энергии в процессах теплопередачи. В однородной среде УТ имеет вид:

,

где a – коэффициент температуропроводности.

Задачи

3.1. Найти:

3.1.1 ;

Указание. Из условия задачи следует, что задано векторное поле с компонентами:

Вычислим частные производные:

Выражение для дивергенции имеет вид:

.

Ответ: .

3.1.2. ;

3.1.3. ;

3.1.4. ;

3.1.5. ;

Указание. Из условия задачи следует, что векторное поле задано радиус-вектором с компонентами x, y, z.

Частные производные:

Значение дивергенции .

Ответ: .

3.1.6. ;

Указание. Из условия задачи следует, что векторное поле задано вектором с компонентами x, y.

Частные производные:

Значение дивергенции .

Ответ: .

3.1.7. ;

3.1.8. ;

3.1.9. ;

3.1.10. ;

3.1.11. , где — постоянный вектор;

Указание. Векторное поле задано вектором с компонентами:

Частные производные:

Значение дивергенции .

Ответ: .

3.1.12. , где и - постоянные вектора;

Указание. По условию задачи векторное поле задано вектором .

Используя правило раскрытия двойного векторного произведения (1.20), получим:

.

Соответствующие компоненты этого вектора равны:

Частные производные:

Значение дивергенции

.

Ответ: .

3.1.13. , где и — постоянные вектора;

3.1.14. ;

3.1.15. ;

3.1.16. , где — постоянный вектор;

3.1.17. , где — постоянный вектор;

3.1.18. , где и — постоянные вектора;

3.1.19.

3.1.20.

3.1.21.

3.1.22. ,

3.1.23. , где — постоянный вектор

3.2. Найти поток поля через поверхность , где поверхность имеет вид:

3.2.1. — единичный квадрат, расположенный в плоскости (стороны квадрата параллельны осям и ), положительная нормаль .

Указание. Вектор дифференциально малой площадки по условию задачи . В соответствии с этим выражение для потока поля через поверхность принимает вид:

Ответ: .

3.2.2. — окружность радиуса с центром в начале координат, расположенная в плоскости , положительная нормаль .

3.2.3. Найти поток поля через поверхность сферы радиуса R с центром в начале координат.

Указание. Для нахождения потока поля через поверхность сферы радиуса R воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса (3.8): . Для этого найдем вначале выражение для :

= .

Затем вычислим интеграл по объему сферы: .

Ответ: .

3.3. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для единичного кубика, ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля , где :

3.3.1. (x-y; z+y-x; 2z);

3.3.2. (2x-z; y+z-x; 2x+y-z).

Указание. Задание проверить теорему Остроградского-Гаусса означает, что необходимо вычислить левую и правую части равенства

,

являющегося математическим выражением теоремы, и сравнить полученные выражения на предмет их равенства.

Вычислим вначале интеграл по объему:

=

Затем .

Интеграл по замкнутой поверхности единичного кубика представим в виде суммы 6 интегралов по его граням. Для этого обозначим грани следующим образом: и — грани лежащие в координатных плоскостях x=1 и x =0, и — грани лежащие в координатных плоскостях y=1 и y=0, и — грани лежащие в координатных плоскостях z=1 и z=0. В этом случае вектора дифференциально малых площадок соответственно равны: ; и .

Вследствие этого: =

= =4.

Ответ: Поскольку 4 и , следует, что теорема Остроградского-Гаусса выполняется.

3.4. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для единичного кубика, ребра которого параллельны осям x, y, z, и поля , где :

3.4.1. ;

3.4.2. ;

3.4.3. ;

3.4.4. .

3.5. Проверить теорему Остроградского- Гаусса для сферы радиуса с центром в начале координат и поля , где :

3.5.1. ;

3.5.2. ;

3.5.3. ;

3.5.4. ;

3.5.5. .

3.6. Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.6.1. ;

3.6.2. ;

3.6.3. ;

3.6.4. ;

3.6.5.

3.7. Проверить теорему Остроградского- Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.7.1. ;

3.7.2. ;

3.7.3. ;

3.7.4. ;

3.7.5. .

3.8. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для сферы радиуса R с центром в начале координат и поля :

3.8.1. ;

3.8.2. .

3.9. Проверить теорему Остроградского-Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.9.1. ;

3.9.2. .

3.10 Проверить теорему Остроградского-Гаусса для цилиндра с радиусом R и высотой h (ось цилиндра совпадает с осью Oz, нижнее основание лежит в плоскости xOy), и поля :

3.10.1. ;

3.10.2. .