Ротор векторного поля и теорема Стокса

Циркуляция A_L векторного поля по замкнутому контуру L — скалярная величина, равная сумме скалярных произведений векторов участков , на которые разбит конур L, и векторов в средних точках этих участков: . При сумма переходит в интеграл по контуру L:

. (4.1)

Циркуляция меняет знак при изменении направления обхода контура. Циркуляцию по контуру L можно представить в виде суммы циркуляций по границам L_k малых площадок , на которые разбита поверхность S, натянутая на контур L, причем направление векторов согласуется правилом правого винта с направлением обхода контуров L и L_k, для которых вычисляются циркуляции: . Чтобы записанная сумма была интегральной, необходимо, чтобы суммируемые величины были пропорциональны . Это возможно, если существует векторное поле, называемое ротором. поля такое, что . При циркуляция записывается в виде интеграла по поверхности S: . Таким образом, циркуляция может быть записана как в виде интеграла по контуру, так и в виде потока ротора векторного поля через поверхность, натянутую на контур. Этот результат называется теоремой Стокса:

. (4.2)

Положительное направление нормали для поверхности должно быть связано с направлением обхода контура по правилу правого винта.

Ротор векторного поля выражается через частные производные компонент поля соотношением:

. (4.3)

Определитель, стоящий в правой части, надо формально разложить по первой строке, что дает выражение для ротора в виде линейной комбинации единичных ортов:

. (4.4)

Формула Грина выводится из теоремы Стокса для случая двумерного поля, заданного на плоскости (x, y): и замкнутого контура L, заданного на плоскости (x, y). Тогда: , и . Тогда из теоремы Стокса следует формула Грина:

. (4.6)

Задачи

4.1 Найти:

4.1.1 ;

Указание. Из условия задачи следует, что задано векторное поле с компонентами:

Введем вектор и вычислим его компоненты:

Ответ: Выражение для ротора имеет вид:

= .

4.1.2 ;

4.1.3 ;

4.1.4 ;

4.1.5 ;

Указание. Из условия задачи следует, что задано векторное поле с компонентами:

Введем вектор и вычислим его компоненты:

Ответ: Выражение для ротора имеет вид: , где — нулевой вектор.

4.1.6 ;

4.1.7 ;

4.1.8 ;

4.1.9 , где — постоянный вектор;

4.1.10 , где и — постоянные вектора;

4.1.11 , где и — постоянные вектора;

4.1.12 ;

4.1.13 ;

4.1.14 ;

4.1.15 ;

4.1.15 ;

4.1.16 ;

4.1.17 ;

4.1.18 ;

4.1.19 ;

4.1.20 ;

4.1.21

4.2 Вычислить , , , , , где , и c равны:

4.2.1 , , ;

4.2.2 , , ;

4.2.3 , , ;

4.2.4 , , ;

4.2.5 , , .

4.3 Вычислить выражение, где :

4.3.1 ;

4.3.2 ;

4.3.3 ;

4.3.4 ;

4.3.5 ;

4.3.6 ;

4.3.7 .

4.4 Найти циркуляцию поля по окружности единичного радиуса с центром в начале координат, лежащей в плоскости (y, z).

4.5 Проверить теорему Стокса для единичных квадратов в плоскостях , , и поля :

4.5.1 ;

Указание. Задание проверить теорему Стокса означает, что следует вычислить левую и правую части равенства, выражающего в математической форме эту теорему: .

Для этого выберем один из предложенных вариантов: единичный квадрат расположен в плоскости , а векторное поле задано .

Интеграл по замкнутому контуру представим в виде 4 интегралов по контурам (координатная линия, определяемая равенствами x=0 и z=0). (координатная линия, определяемая равенствами x=0 и y=1), (координатная линия, определяемая равенствами x=0 и z =1) и (координатная линия, определяемая равенствами x=0 и y =0). В этом случае соответствующие элементы длины вдоль контуров раны: , а .

С учетом сделанных определений

=

Итак, .

Приступим теперь к вычислению правой части равенства .

Для единичного квадрата, расположенного в плоскости , . Следовательно, .

Ответ: Поскольку и = 2 следует, что теорема Стокса выполняется.

4.5.2 .

4.6 Проверить теорему Стокса для граней единичного куба и поля :

4.6.1 ;

4.6.2 ;

4.6.3 ;

4.6.4 .

4.7 Проверить теорему Стокса для окружности радиуса с центром в точке , лежащей в плоскости , и поля , где - постоянный вектор.