Комбинированные задачи векторного анализа

Указание: при решении задач этого параграфа не предлагается использование метода оператора набла.

Задачи

5.1 Вычислить div grad f для следующих скалярных полей f:

5.1.1 , - постоянный вектор;

Указание. Для решения поставленной задачи вычислим вначале градиент .

Следовательно: ;

Аналогично: ;

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Вычислим теперь .

Частные производные: ;

Ответ: .

5.1.2 , - постоянный вектор;

5.1.3 , - постоянный вектор;

5.1.4 , - постоянный вектор;

5.1.5 , - постоянный вектор;

5.1.6 ;

5.1.7 ;

5.1.8 ;

5.1.9 ;

5.1.10 ;

5.1.11 .

5.2 Вычислить rot rot для векторных полей :

5.2.1 ;

5.2.2 ;

5.2.3 ;

5.2.4 .

5.3 Вычислить rot grad f для следующих скалярных полей f:

5.3.1 ;

5.3.2 ;

5.3.3 .

5.4 Вычислить div rot для векторных полей :

5.4.1 , - постоянный вектор;

5.4.2 .

5.5 Упростить выражение с предварительным использованием методов векторной алгебры и вычислить:

5.5.1 ;

5.5.2 ;

5.5.3 ;

5.5.4 ;

5.5.5 ;

5.5.6 ;

5.5.7 ;

5.5.8 .