Градиент скалярного поля

Если в каждой точке пространства задан скаляр – это скалярное поле. Если в каждой точке пространства задан вектор – это векторное поле.

Если скалярное поле задается в ДСК, то это означает, что скалярная функция трех переменных . При рассмотрении локального поведения часто используется порождаемое им векторное поле , называемое градиентом скалярного поля.

Одно из альтернативных определений этой величины использует понятие производной по направлению, заданному единичным вектором .

Градиентом скалярного поля в точке называется вектор

, (2.1)

величина которого определяется производной по направлению единичного вектора нормали к поверхности уровня , проходящей через точку , в сторону возрастания значений .

Напомним, что нормалью к поверхности S в точке P называется прямая, проходящая через точку P и перпендикулярная к касательной плоскости к S в этой точке.

Компоненты этого вектора в ДСК можно получить, используя приводимое ранее выражение .

Следовательно, в ДСК выражение для градиента скалярного поля имеет вид:

(2.2)

Полный дифференциал от определяется как приращение значения этой величины при изменении радиус-вектора на бесконечно малое приращение

(2.3)

Следовательно,

, (2.4)

где – угол между векторами градиент и . Следовательно, направление вектора – это направление скорейшего роста скалярного поля в данной точке, а модуль градиента – это скорость роста поля в этом направлении.

Экстремальные точки скалярного поля – это точки, при смещении из которых с точностью до членов, линейных по смещению, поле остается неизменным. Из этого определения вытекает, что частные производные в этих точках равны нулю, а возникающую из этого условия систему трех уравнений можно использовать для нахождения экстремальных точек . По этой же причине в этих точках .

Указания по решению задач

2.1. Для заданных ниже функций найти градиент, точки экстремума, направление наискорейшего роста в заданной точке (x₀, y₀, z₀), а также уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке:

2.1.1. ;

2.1.2. ;

2.1.3. ;

2.1.4. ;

2.1.5. .

Указание. Пусть = (2.1.3). Для нахождения компонент вектора градиента и точек экстремума вычислим:

Запишем систему уравнений, определяющих точки экстремума:

Решение полученной системы определяет точку экстремума с координатами

Выражение для векторного поля градиента имеет вид:

,

а в точке :

.

Для нахождения уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения в точке воспользуемся определяющим ее выражением (1.22), в котором компоненты вектора заменим на соответствующие значения компонент вектора :

.

2.2. Найти компоненты вектора градиент:

2.2.1. , где .

Указание. В данной задаче = .

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.2. , где ;

Указание. Решение данной задачи аналогично решению предыдущей. Следует лишь учесть, что в соответствии с определением, данным при постановке задачи, вектор .

Итак: = .

Следовательно:

Аналогично:

а

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.3. ;

2.2.4. ;

2.2.5. , где — постоянный вектор, ;

2.2.6. , где — постоянный вектор, ;

2.2.7. ;

Указание. В данной задаче = .

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.8. ;

2.2.9. , где — постоянный вектор;

2.2.10. ;

2.2.11. ;

Указание. В данной задаче = .

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.12. , где — постоянный вектор.

Указание. В данной задаче = = .

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.13. , где и — постоянные векторы;

Указание. В данной задаче

= = .

,

где компонента векторного произведения на ось x.

Примечание: Полученный результат можно получить быстрее, переписав, используя свойство векторного произведения по отношению к циклической перестановке векторов, выражение для в виде:

= = =

Следовательно:

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

Ответ: .

2.2.14. ;

2.2.15. ;

2.2.16. ;

2.2.17. ;

2.2.18. ;

2.2.19. ;

2.2.20. ;

2.2.21.

2.2.22.

2.2.23.

2.3.1. Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(3, 2, 1) в направлении наискорейшего роста функции , r=| |

Указание. Уравнение прямой, проходящей через точку и параллельной вектору , определяется выражением (1.23a). Направление наискорейшего роста функции в точке определяется вектором градиента этой функции в этой точке.

В соответствии с этими замечаниями найдем вначале векторное поле градиента предложенной функции.

В данной задаче = .

.

Следовательно:

Аналогично:

и

Подставляя найденные выражения в (2.2), получим:

.

Для определения значения вектора градиента в точке А(3, 2, 1) введем радиус-вектор , вычислим его длину и подставим в полученное выражение для градиента:

Сократив записанное уравнение на неравный нулю множитель, получим искомое уравнение прямой.

Ответ: .

2.3.2. Написать уравнение плоскости, касательной к поверхности постоянного значения функции (x²+y²-3z) в точке А(-1, 2, -1).

2.3.3. Найти угол между направлениями наискорейшего роста функций (x²+2y²-z²) и r=| | в точке А(-1, 1, 1).

2.3.4. Найти силу, действующую на частицу в точке А(-1, -2, -1), если потенциальная энергия равна (2x+y²-z).

Указание. По определению, если задана потенциальная энергия , сила , действующую на частицу в точке , определяется выражением .

2.3.5. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку А(1, 1, 2), которая является плоскостью, касательной к поверхности постоянного значения функции в этой точке. — радиус-вектор, — постоянный вектор с координатами (1, 2, 0).