Алгебраический критерий устойчивости дискретных систем

Система называется устойчивой, если ее реакция на кратковременное воздействие при t, стремящемся к бесконечности, будет стремиться к нулю

Передаточная функция:

Корни характеристического уравнения:

.

Это уравнение имеет бесконечное количество корней, однако в полосе частот от до , где ,, число корней характеристического уравнения равно n.

Устойчивость системы определяется положением корней характеристического уравнения на комплексной плоскости.

Когда все корни находятся в заштрихованной левой полосе, т. е. имеют отри­цательные вещественные составляющие, то система устойчива. Если хотя бы один корень имеет положительную вещественную составляющую, то система неустойчива. Если один или несколько корней расположены на мнимой оси, то система находится на границе устойчивости.

Чтобы применить к дискретной системе критерий Гурвица, необходимо ввести новую комплексную переменную характеристического многочлена, при которой заштрихованная полуполоса превратится в левую полуплоскость. Этому условию удовлетворяет подстановка:

Тогда характеристическое уравнение может быть записано в следующем виде:

a₀= 0.

Приведем это выражение к общему знаменателю:

)ⁿ=0

Сгруппируем:

a₀ (1- v)ⁿ=0.

К этому уравнению и следует применять критерий устойчивости Гурвица.

Определитель Гурвица имеет вид:

В устойчивой системе все диагональные миноры определителя Гурвица должны быть положительными.