Частотный критерий устойчивости дискретных систем

Рассмотрим характеристическое уравнение:

Оно имеет n корней, поэтому в соответствии с теоремой Безу его можно представить в виде:

z - z_n),,

где z_i – корни характеристического уравнения.

Введя переменную , получим:

^И- z_n),

Так как

sin ωT_И,

то при изменении частоты от 0 до p угол поворота вектора e^jωTи - z_i будет также равен p.

В устойчивой системе угол поворота вектора

равен сумме углов поворота векторов-сомножителей e^jωTи - z_i поэтому

где n – число корней.

Если же это условие не выполняется, то дискретная система неустойчива. Условие является аналогом критерия Михайлова, применяемым для оценки устойчивости дискретных систем управления. На рис. приведены типовые графики изменения вектора А*(jw) для систем различного порядка.

б

Рис. Годографы амплитудно-фазовой частотной характеристики: а-устойчивых систем(3 рисунка), б-неустойчивых(3 рисунка).