Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

Рис.3

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Пример 1   Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми . Решение. Область R схематически показана на рисунке 4. Используя формулу для площади области I типа получаем

Рис.4		Рис.5

Пример 2   Вычислить площадь области R, ограниченной линиями . Решение. Сначала определим точки пересечения двух заданных линий. Следовательно, координаты точек пересечения равны Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ: Получаем Пример 3   Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями . Решение. Данное тело показано на рисунке 6.

Рис.6

Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x до z = 4 − x. Тогда объем равен

Пример 4   Описать тело, объем которого определяется интегралом . Решение.

Рис.7		Рис.8

Данное тело (рис.7,8) расположено над треугольной областью R, ограниченной координатными осями O x, O y и прямой y = 1 − x ниже параболической поверхности . Объем тела равен

Пример 5   Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями . Решение.

Рис.9		Рис.10

Данное тело лежит над треугольником R в плоскости O xy (рисунки 9,10) ниже поверхности z = xy. Объем тела равен

Пример 6   Найти объем тела, ограниченного поверхностями . Решение.

Рис.11		Рис.12

Как видно из рисунков 11 и 12, в области интегрирования R при значения y изменяются от 1 − x до . Сверху тело ограничено плоскостью z = 1 − x. Следовательно, объем данного тела равен

Вычислим полученные три интеграла отдельно.

Сделаем замену: . Тогда . Видно, что t = 0 при x = 0, и при x = 1. Следовательно,

(Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте).

Вычислим второй интеграл , используя замену переменной. Полагаем . Тогда . Находим, что w = 1 при x = 0, и, наоборот, w = 0 при x = 1. Интеграл равен

Наконец, вычислим третий интеграл.

Таким образом, объем тела равен

Пример 7   Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением . Решение. Рассмотрим лепесток в секторе (рисунок 13). Область интегрирования имеет вид . Следовательно, площадь данной фигуры в полярных координатах равна

Рис.13		Рис.14

Пример 8   Вычислить объем единичного шара. Решение. Уравнение сферы радиусом 1 имеет вид (рисунок 14). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на 2. Уравнение верхней полусферы записывается как Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем В полярных координатах область интегрирования R описывается множеством . Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть . Тогда . Уточним пределы интегрирования: t = 1 при r = 0, и, наоборот, t = 0 при r = 1. Получаем Таким образом, оьъем единичного шара равен Пример 9   Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 15). Решение.

Рис.15		Рис.16

Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники (рисунок 16), можно записать

Следовательно,

Тогда объем конуса равен