Площадь и объем в полярных координатах

Пусть S является областью, ограниченной линиями (рисунок 3). Тогда площадь этой области определяется формулой

Рис.3

Объем тела, ограниченного сверху поверхностью с основанием S, выражается в полярных координатах в виде

Пример 1   Найти площадь области R, ограниченной гиперболами и вертикальными прямыми . Решение. Область R схематически показана на рисунке 4. Используя формулу для площади области I типа получаем

Рис.4		Рис.5

Пример 2   Вычислить площадь области R, ограниченной линиями . Решение. Сначала определим точки пересечения двух заданных линий. Следовательно, координаты точек пересечения равны Область R представлена на рисунке 5 выше. Будем рассматривать ее как область типа II. Для вычисления площади преобразуем уравнения границ: Получаем Пример 3   Найти объем тела в первом октанте, ограниченного плоскостями . Решение. Данное тело показано на рисунке 6.

Рис.6

Из рисунка видно, что основание R является квадратом. Для заданных x, y значение z изменяется от z = x до z = 4 − x. Тогда объем равен

Пример 4   Описать тело, объем которого определяется интегралом . Решение.

Рис.7		Рис.8

Данное тело (рис.7,8) расположено над треугольной областью R, ограниченной координатными осями O x, O y и прямой y = 1 − x ниже параболической поверхности . Объем тела равен

Пример 5   Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями . Решение.

Рис.9		Рис.10

Данное тело лежит над треугольником R в плоскости O xy (рисунки 9,10) ниже поверхности z = xy. Объем тела равен

Пример 6   Найти объем тела, ограниченного поверхностями . Решение.

Рис.11		Рис.12

Как видно из рисунков 11 и 12, в области интегрирования R при значения y изменяются от 1 − x до . Сверху тело ограничено плоскостью z = 1 − x. Следовательно, объем данного тела равен

Вычислим полученные три интеграла отдельно.

Сделаем замену: . Тогда . Видно, что t = 0 при x = 0, и при x = 1. Следовательно,

(Сравните с площадью сектора единичного круга в первом квадранте).

Вычислим второй интеграл , используя замену переменной. Полагаем . Тогда . Находим, что w = 1 при x = 0, и, наоборот, w = 0 при x = 1. Интеграл равен

Наконец, вычислим третий интеграл.

Таким образом, объем тела равен

Пример 7   Найти площадь лепестка розы, заданной уравнением . Решение. Рассмотрим лепесток в секторе (рисунок 13). Область интегрирования имеет вид . Следовательно, площадь данной фигуры в полярных координатах равна

Рис.13		Рис.14

Пример 8   Вычислить объем единичного шара. Решение. Уравнение сферы радиусом 1 имеет вид (рисунок 14). В силу симметрии, ограничимся нахождением объема верхнего полушара и затем результат умножим на 2. Уравнение верхней полусферы записывается как Преобразуя это уравнение в полярные координаты, получаем В полярных координатах область интегрирования R описывается множеством . Следовательно, объем верхнего полушара выражается формулой Сделаем замену переменной для оценки последнего интеграла. Пусть . Тогда . Уточним пределы интегрирования: t = 1 при r = 0, и, наоборот, t = 0 при r = 1. Получаем Таким образом, оьъем единичного шара равен Пример 9   Используя полярные координаты, найти объем конуса высотой H и радиусом основания R (рисунок 15). Решение.

Рис.15		Рис.16

Сначала получим уравнение поверхности конуса. Используя подобные треугольники (рисунок 16), можно записать

Следовательно,

Тогда объем конуса равен

Пример 10   Вычислить площадь cферы радиуса a. Решение. Рассмотрим верхнюю полусферу. Ее уравнение имеет вид Очевидно, область интегрирования R представляет собой круг с таким же радиусом a, расположенный в центре координат. Площадь полусферы вычисляется по формуле Найдем частные производные. Подставляя найденные производные, получаем Преобразуем двойной интеграл в полярные координаты. Площадь поверхности полной сферы, соответственно, равна

Билет №16 Физические приложения двойных интегралов

Масса и статические моменты пластины Предположим, что плоская пластина изготовлена из неоднородного материала и занимает область R в плоскости O xy. Пусть плотность пластины в точке (x, y) в области R равна . Тогда масса пластины выражается через двойной интеграл в виде Статический момент пластины относительно оси O x определяется формулой Аналогично находится статический момент пластины относительно оси O y: Координаты центра масс пластины, занимающей область R в плоскости O xy с плотностью, распределенной по закону , описываются формулами Для однородной пластины с плотностью для всех (x, y) в области R центр масс определяется только формой области и называется центроидом. Моменты инерции пластины Момент инерции пластины относительно оси O x выражается формулой Аналогично вычисляется момент инерции пластины относительно оси O y: Полярный момент инерции пластины равен Заряд пластины Предположим, что электрический заряд распределен по области R в плоскости O xy и его плотность распределения задана функцией . Тогда полный заряд пластиныQ определяется выражением Среднее значение функции Приведем также формулу дял расчета среднего значения некоторой распределенной величины. Пусть f (x,y) является непрерывной функцией в замкнутой области R в плоскости O xy. Среднее значение функции μ функции f (x,y) в области R определяется формулой где − площадь области интегрирования R.

Пример 1

Определить координаты центра тяжести однородной пластины, образованной параболами и . Решение. Заданная пластина имеет форму, показанную на рисунке 1. Поскольку пластина однородна, то можно положить . Тогда масса пластины равна Найдем теперь статические моменты относительно осей O x и O y. Вычисляем координаты центра масс.   Рис.1   Рис.2

Пример 2

Вычислить моменты инерции треугольника, ограниченного прямыми (рисунок 2) и имеющего плотность . Решение. Найдем момент инерции пластины относительно оси O x. Аналогично вычислим момент инерции относительно оси O y.

Пример 3

Электрический заряд по площади диска таким образом, что его поверхностная плотность равна . Вычислить полный заряд диска. Решение. В полярных координатах область, занятая диском, описывается множеством . Полный заряд будет равен