Стационарное течение идеальной жидкости. Уравнение Бернулли

1.Стационарное течение идеальной жидкости.

Течение жидкости представляет собой поле скоростей, изображенное с помощью линий тока. Если поле скоростей, то есть форма и расположение соответствующие ему линии тока не меняются с течением времени, то движение жидкости называется стационарным или установившимся.

2.Уравнение Бернулли.

Выделим в стационарно текущей идеальной жидкости (физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения) трубку тока, ограниченную сечениями S ₁ и S ₂, по которой слева направо течет жидкость (рис. 47).

Пусть в месте сечения S ₁ скорость течения v ₁, давление p ₁ и высота, на которой это сечение расположено, h ₁. Аналогично, в месте сечения S ₂ скорость течения v ₂, давление p ₂ и высота сечения h ₂. За малый промежуток времени D t жидкость перемеща­ется от сечения S ₁ к сечению , от S ₂ к .

Согласно закону сохранения энергии, изменение полной энергии E ₂ —E ₁ идеальной несжимаемой жидкости должно быть равно работе А внешних сил по перемещению массы m жидкости:

E ₂ – E ₁ = А, (30.1)

где E ₁ и E ₂ — полные энергии жидкости массой m в местах сечений S ₁ и S ₂ соответст­венно.

С другой стороны, А — это работа, совершаемая при перемещении всей жидкости, заключенной между сечениями S ₁ и S ₂, за рассматриваемый малый промежуток времени D t. Для перенесения массы m от S ₁ до жидкость должна переместиться на расстояние l ₁= v ₁D t и от S ₂ до — на расстояние l ₂= v ₂D t. Отметим, что l ₁ и l ₂ настоль­ко малы, что всем точкам объемов, закрашенных на рис. 47, приписывают постоянные значения скорости v, давления р и высоты h. Следовательно,

А = F ₁ l ₁ + F ₂ l ₂, (30.2)

где F ₁ =p ₁ S ₁ и F ₂ = – p ₂ S ₂ (отрицательна, так как направлена в сторону, противополож­ную течению жидкости; рис. 47).

Полные энергии E ₁ и E ₂ будут складываться из кинетической и потенциальной энергий массы m жидкости:

(30.3)

(30.4)

Подставляя (30.3) и (30.4) в (30.1) и приравнивая (30.1) и (30.2), получим

(30.5)

Согласно уравнению неразрывности для несжимаемой жидкости (29.1), объем, занимаемый жидкостью, остается постоянным, т. е.

Разделив выражение (30.5) на D V, получим

где р — плотность жидкости. Но так как сечения выбирались произвольно, то можем записать

(30.6)

Выражение (30.6) выведено швейцарским физиком Д. Бернулли (1700—1782; опуб­ликовано в 1738 г.) и называется уравнением Бернулли. Из уравнения Бернулли следует, что при увеличении скорости течения (уменьшении сечения трубы) динамическое давление жидкости возрастает, а ее статическое давление уменьшается. Как видно из его вывода, уравнение Бернулли — выражение закона сохранения энергии применительно к устано­вившемуся течению идеальной жидкости. Оно хорошо выполняется и для реальных жидкостей, внутреннее трение которых не очень велико.