Скатывание с горки 2ух цилиндров, пустого и сплошного

Сплошной и полый цилиндры, имеющие одинаковые массы и радиусы, скатываются без проскальзывания с горки высотой h. Какое из тел быстрее скатится?

При скатывании с горки высотой h у обоих цилиндров высвобождается одинаковая потенциальная энергия: П = m*g*h, где m - масса цилиндра, g - ускорение свободного падения, и превращается в кинетическую К. В случае скатывания без проскальзывания цилиндры вращаются, поэтому полная кинетическая энергия равна сумме кинетической энергии поступательного(Кп) и Вращательного(Кв) движений: К = Кп + Кв.

Кп = m*V²/2 (, где V - скорость поступательного движения у основания горки; Кв = J*ω²/2, где J - момент инерции цилиндра относительно его оси, ω - угловая скорость вращательного движения у основания горки. То есть полная кинетическая энергия Цилиндра равна: К= m*V²/2+ J*ω²/2.

По закону сохранения энергии: m*g*h= m*V²/2+ J*ω²/2. Подставив ω = V/R, получим m*g*h= m*V²/2+ J* V²/2 R², откуда V=√ m*g*h/(m/2+ J/2 R²) или V=√ 2m*g*h/(m+ J/ R²)

Момент инерции сплошного цилиндра Jсп=m*R²/2, а пустотелого Jпуст= m*R^2. Подставляем эти формулы в формулу для скорости и находим, что скорость пустотелого цилиндра равна Vпуст=√ 2*g*h/2, а для сплошного Vсплош=√ 2*g*h/1.5.

Находим отношения скоростей Vпуст/ Vсплош=√1.5/2, то есть Vпуст=√1.5/2* Vсплош. Т.е. скорость сплошного цилиндра больше скорости пустотелого, значит сплошной цилиндр скатиться быстрее. Отсюда можно сделать вывод, что чем меньше момент инерции, тем быстрее скатиться тело.