Гармонический осциллятор. Собственные колебания математического, физического и пружинного маятника

Гармоническим осциллятором называется система, совершающая колебания, описыва­емые уравнением вида

(142.1)

Колебания гармонического осциллятора являются важным примером периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классичес­кой и квантовой физики. Примерами гармонического осциллятора являются пружин­ный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и на­пряжений столь малых, что элементы контура можно было бы считать линейными; см. §146).

1. Пружинный маятник — это груз массой т, подвешенный на абсолютно упругой пружине и совершающий гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника

Из выражений (142.1) и (140.1) следует, что пружинный маятник совершает гармоничес­кие колебания по закону х=А соs (w₀ t + j) с циклической частотой

(142.2)

и периодом

(142.3)

Потенциальная энергия пружинного маятника, равна

2. Физический маятник — это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку О, не совпадающую с центром масс С тела

Если маятник отклонен из положения равновесия на некоторый угол a, то в соот­ветствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент M возвращающей силы можно записать в виде

(142.4)

где J — момент инерции маятника относительно оси, проходящей через точку подве­са О, l – расстояние между ней и центром масс маятника. Уравнение (142.4) можно записать в виде

при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой w₀ и периодом

где L=J/ (ml) — приведенная длина физического маятника.

Точка подвеса О маятника и центр качаний О' обладают свойством взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса

станет новым центром качаний, и период колебаний физичес­кого маятника не изменится.

3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой т, подвешенной на нерастяжимой невесомой нити, и колеб­лющаяся под действием силы тяжести. Хорошим приближением математического маятника является небольшой тяжелый шарик, подвешенный на тонкой длинной нити. Момент инерции математического маятника

где l — длина маятника.

Так как математический маятник можно представить как частный случай физичес­кого маятника, предположив, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, получим выражение для периода малых колебаний математического маятника