Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Независимость случайных величин
Напомним, что события А и В называются независимыми, если
Определение 1. Дискретные случайные величины и называются независимыми, если при любых и
или
Определение 2. Непрерывные случайные величины называются независимыми, если для любых х и у для плотностей справедливо равенство:
Определение 3. Понятие независимости для случайных величин общего типа формулируется в терминах функций распределения. Величины и независимы, если
Определение 4. n случайных величин называются независимыми в совокупности, если
Условные распределения
а) Рассмотрим сначала дискретные случайные величины и , определяемые совокупностью точек на плоскости и соответствующими вероятностями . Предположим, что эксперимент проведен. Стало известно значение одной компоненты = у, но значение другой компоненты остается неизвестным. Возникает вопрос: каковы вероятности того, что имеет различные значения ? Выпишем эти вероятности по формуле условной вероятности:
В этом выражении изменяется, а у зафиксирован.
Определение. Совокупность по вероятностей (5.14) называется условным распределением случайной величины при условии известного значения = у.
Просуммировав (5.14) по , с учетом (5.3б) убеждаемся, что
б) Рассмотрим непрерывные случайные величины и , определяемые плотностью совместного распределения . Предположим, что эксперимент проведен. Стало известно значение одной компоненты = у но значение другой () остается неизвестным. Каково теперь распределение значений для
Определение. Плотностью условного распределения случайной величины при условии известного значения = у называется функция от х:
Убедимся в том, что предел равен отношению плотностей. Действительно
при . В выражении для условной плотности переменной является х, а значение у фиксировано. Интегрирование (5.16) по х с учетом (5.3а) дает 1:
Замечания.
1. Поскольку значение у зафиксировано,
Эта запись означает, что условная плотность, как функция х, совпадает с точностью до константы с сечением функции двух переменных при фиксированном значении другой переменной. Нормирующая константа определяется из условия
2. Если и независимы, т.е. , то
т.е. условное распределение совпадает с безусловным.
3. Аналогично (5.16) вводится условное распределение случайной величины при условии известного значения :
Замечания 1, 2, 3, сделанные для непрерывных случайных величин, справедливы и для дискретных, надо лишь плотности заменить вероятностями и интеграл — суммой.
Условные математические ожидания и условные дисперсии
Для условных распределений мы можем определить математическое ожидание, дисперсию и другие числовые характеристики. Они нужны для многих целей, в частности, для прогноза. Если стало известно значение одной компоненты = у, и мы хотим предсказать ненаблюдаемую компоненту , то лучшим прогнозом является условное математическое ожидание:
Например, известна на сегодня температура в Москве, а мы хотим предсказать температуру в Ярославле. Лучшим прогнозом является условное математическое ожидание. Здесь лучшим прогнозом мы понимаем такой, для которого средний квадрат ошибки минимален.
Для того чтобы рассматривать одновременно дискретные и непрерывные случайные величины, будем использовать единое обозначение , понимая его как плотность, если и непрерывны, и как вероятность при дискретных аргументах, если и дискретны. Аналогично: условные распределения и распределения компонент .
Определение. Условным математическим ожиданием случайной величины при условии известного значения = у называется
Определение. Условной дисперсией случайной величины при условии известного значения = у называется
Поскольку значение у случайно, мы можем рассматривать значения функций и как случайные величины:
Справедливы следующие замечательные формулы:
Покажем справедливость (5.21) для дискретных случайных величин. Запишем формулу полной вероятности в наших обозначениях
Умножим это соотношение на х и просуммируем:
что означает
Покажем справедливость (5.22). По формуле (4.14), справедливой для любых распределений, в том числе условных
Здесь слева и справа — функции от у, которые мы можем рассматривать как функции от случайной величины :
Если определить математическое ожидание слева и справа (используя свойство из раздела 6: математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий), то получим
Определим второе слагаемое в (5.22):
Складывая (5.23) и (5.24) и дважды применяя (5.21), получим (5.22):
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 205 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!