На лекциях была без доказательства!

48. Остановленный случайный процесс, локализующая последовательность, локальный полумартингал (непрерывное время).

Определение. Случайный процесс называется остановленным если .

Определение. Пусть последовательность марковских моментов такая, что , причём Р -п. н. для и пусть
Р - п. н.. Такую последовательность назовём локализующей (). Если же , то последовательность назовём локализующей.

Определение. Случайный процесс называется локальным мартингалом, если существует локализующая последовательность марковских моментов такая, что для Р - п. н. .

Аналогичным образом определяются локальные субмартингал и супермартингал.

Теорема 86. Пусть - локальный мартингал относительно меры Р. Тогда - супермартингал (относительно меры Р).

Доказательство. Так как Р — п.н. для , где - локализующая последовательность, то в силу леммы Фату .
Доказательство закончено.

49. Классификация марковских моментов опциональные, предсказуемые.

Определение. Марковский момент называется предсказуемым, если существует последовательность марковских моментов такая, что: а) Р - п. н., б) Р - п. н., при этом последовательность называют предвещающей марковский момент .

Пример. Пусть момент остановки, а . Ясно, что момент остановки, более того предсказуемый момент остановки, так как предвещает последовательность , где

Определение. Марковский момент называют достижимым, если существует предсказуемая последовательность марковских моментов таких, что Р - п. н., т. е.

Определение. Марковский момент называется недостижимым (вполне или тотально недостижимым) или опциональным, если для каждого предсказуемого момента остановки Р - п. н..

Теорема 87. Марковский момент - опционален тогда и только тогда, когда существует последовательность моментов остановки такая, что: а) Р - п. н. для , б) Р - п. н..

Очевидно следующее утверждение.

Теорема 88. Пусть — опциональный марковский момент. Тогда для любой предсказуемой последовательности марковских моментов

Задача. Докажите, что момент времени в который происходит первый скачок пуассоновского процесса является опциональным марковским моментом.

Теорема 89. Пусть где , и стохастические интервал вида , где - опциональные марковские моменты, порождают алгебру .

Доказательство. Сначала заметим, что - это предсказуемый момент остановки равный нулю на и бесконечности на . Значит . Очевидно, что . Заметим, что предсказуемым м. о., поэтому , следовательно .

Рассмотрим интервал , где - предсказуемый м.о. Нам надо показать, что этот интервал принадлежит алгебре порождённой выше рассмотренными интервалами. Действительно, поскольку , а для последовательностей , предвещающей на множестве , имеем Отсюда следует утверждение теоремы.

50. Классификация потоков σ-алгебр: предсказуемая, оптимальная (теорема 90). Классификация случайных процессов. Докажите, что предсказуемая σ-алгебра порождена всеми непрерывными слева случайными процессами (теорема 91).

Пусть имеется стохастический базис .

Определение. Опциональной (предсказуемой) алгеброй, обозначается через называется алгебра, порождаемая стохастическими интервалами вида где — опциональный (предсказуемый) момент остановки.

Из определения следует следующее утверждение.

Теорема 90(?????). .

Определение. Случайный процесс со значениями в называется опциональным (предсказуемым), если отображение измеримо относительно алгебры на .

Теорема 91. Предсказуемая алгебра порождена всеми непрерывными слева согласованными процессами.

Доказательство. Из теоремы 18 следует, что порождена всеми процессами вида , где и , где — любые опциональные марковские моменты, причём Р - п. н. . Ясно, что эти процессы непрерывны слева и согласованы. По­этому для доказательства теоремы достаточно доказать, что каждый непрерывный слева согласованный процесс является предсказуемым. Обозначим . Процесс - предсказуем и непрерывен слева и поэтому Р - п. н. Значит - предсказуемый процесс. Доказательство закончено.

Теорема 92. Опциональная алгебра порождена всеми согласованными процессами, непрерывными справа и имеющими предел слева.

Доказательство. Опциональная алгебра порождена процессами вида , где - любые опциональные марковские моменты, причём , которые являются согласованными, непрерывными справа и имеющие левый предел. Поэтому нам осталось доказать, что каждый согласованный, непрерывный справа и имеющий предел слева процесс - опционален.

Пусть - случайный процесс являющийся таковым. Для каждого, целого положительного числа построим возрастающую последовательность моментов остановки следующим образом: для всех , причём если это множество пустое, то полагаем, что . В силу теоремы - прогрессивно измерим, поэтому тоже прогрессивно измерим. Значит , где прогрессивно измерим. Заметим теперь, что - м. о., поэтому из непрерывности справа процесса получаем, что Р - п. н. на множестве (попутно заметим, что непрерывность слева эквивалентна тому, что для Р - п. н.). Обозначим для Процесс - опционален, поскольку он представляет собой сумму счётного числа опциональных процессов. Устремляя теперь получим, что из непрерывности справа Р - п. н., т. е. -опциональный процесс. Доказательство закончено.

Т еорема 93. Если процесс - опционален, то множество - тонкое (для ).

Доказательство. Пусть и по индукции определим Очевидно, что если , то для любых фиксированных . Ясно, что процесс - непрерывен справа и согласован, a - момент остановки. Заметим теперь, что множество Поэтому где также является моментом остановки. Заметим, что из опциональности процесса следует, что Р - п. н. при . Поэтому . Доказательство закончено.

51. Процессы ограниченной вариации и их свойства (теоремы 94, 95).

Пусть - стохастический базис.

Определение. Согласованный случайный процесс со значениями в называется возрастающим, если почти все его траектории непрерывны справа и не убывают. Множество возрастающих процессов обозначим через .

Из определения возрастающего процесса следует, что:

а) возрастающий процесс имеет левый предел,

б) существует случайная величина Р - п. н.

Определение. Будем говорить, что согласованный процесс имеет ограни­ченную вариацию на отрезке [0,T], обозначаемую через Var , если для любого разбиения отрезка [0,T] Р - п. н. конечна величина Var , где П - множество разбиений отрезка [0,T].

Определение. Через W обозначим множество непрерывных справа, имеющих левый предел случайных процессов таких, что почти каждая его траектория имеет ограниченную вариацию на любом компактном множестве из .

Теорема 94. Согласованный случайный процесс тогда и только тогда, когда для , где . (Докажите самостоятельно).

Теорема 95. Пусть - возрастающий процесс. Тогда существует един­ственное разложение вида , где - непрерывный возрастающий процесс (т. е. предсказуемый), а - опциональный случайный процесс. Если - предсказуемый процесс, то - предсказуемый процесс.

Доказательство. Разложение - следует из теоремы Лебега. Из доказа­тельства теоремы 92 следует, что существует последовательность марковских моментов , которая исчерпывает скачки процесса . Обозначим , , где . Ясно, что при каждом п процесс - возрастающий. Значит - возрастающий и непрерывен справа. Если , то - непрерывный возрастающий процесс. Поскольку - непрерывен справа и согласован, то в силу теоремы 86 он опционален. Доказательство закончено.

Замечание. Обозначим через - множество интегрируемых возрастающих процессов, т. е. , если . Через обозначим множество интегрируемых возрастающих процессов, т. е. , если M Var .

52. Точечный случайный процесс (определение). Считающий процесс и его свойства. Компенсатор. Пример точечного процесса.

Определение. Пусть на стохастическом базисе задана последова­тельность марковских моментов , которую мы будем называть точечным процессом, если выполняются условия: а) ,

б) Р - п. н. для , в) существует Р - п. н.

Точечный процесс часто называют моновариантным процессом, процессом накопле­ния или считающим процессом. Это связано со следующим обстоятельством.

Определим процесс следующим образом: , где - последовательность марковских моментов, фигурирующая в определении то­чечного процесса, и назовем его считающим процессом. Ясно, что процесс согласо­ван с фильтрацией , имеет кусочно-постоянные траектории, которые непрерывны справа и имеют левый предел. Поэтому в силу теоремы 19 он опционален и имеет конечное число скачков () нa конечном интервале. Из определения счита­ющего процесса следует, что для и при , поэтому он имеет:

а) ограниченную вариацию, б) является субмартингалом так как . Из сказанного выше следует, что между точечным и считающим процессом существует взаимно однозначное соответствие, так как - опциональные марковские моменты обладают следующими свойствами: а) , б) Р - п. н. для ,

в) существует Р - п. н. Так как - субмартингал, то в силу теоремы Дуба - Мейера справедливо единственное разложение

Р - п. н. для , где - предсказуемый возрастающий процесс, а - мартингал, относительно меры Р.

Определение. Предсказуемый возрастающий процесс назовём - компенсатором считающего случайного процесса , если - мартингал относительно потока и меры Р.

Пример. Пусть - пуассоновский процесс с интенсивностью . Тогда его компенсатором является процесс .

53. Интеграл Римана-Стильтеса (определение) и его свойства (теорема 96).

Для формулировки дальнейших результатов нам понадобится конструкция интеграла Римана - Стилтьеса. Напомним ее. Пусть - непрерывная слева функция, а - непрерывная справа функция ограниченной вариации. Пусть - разбиение отрезка [0,T], т. е. , причём при . Составим интегральную сумму . Если при

эта сумма стремится к некоторому пределу, не зависящему от выбора способа разбиения отрезка [0,T], то этот предел называется интегралом Римана - Стилтьеса функции j по функции ограниченной вариации x и обозначается символом . Очевидно следующее утверждение.

Теорема 96. Если - предсказуемая функция на [0,T], а , то интеграл Римана - Стилтьеса существует.

Приведём без доказательства ряд свойств этого интеграла:

1) ;

2) если , где , то ;

3) если , где - предсказуемые функции, а , то ;

4) .

54. Формула Ито. Вычислите стохастический интеграл

Теорема 97. Пусть - измеримая ограниченная функция, a - считающий процесс. Тогда P - п. н.

, (4)

где интеграл, стоящий в правой части (4), понимается в смысле Римана - Стилтьеса.

Доказательство. - это марковские моменты , которые исчерпывают скачки процесса . Так как траектории процесса кусочнопостоянны, то справедливы равенства:

.

Учтем, что ,имеем

.

Так как , гдe , то процесс - предсказуем. В результате имеем (4). Доказательство закончено.

Пример (применения формулы Ито). Вычислим интеграл Римана - Стилтьеса .

Пусть . Из (4) имеем .

Отсюда следует, что .

55. Квадратическая и взаимная вариации опциональных процессов и их свойства.

Определение. Квадратической вариацией опционального процесса , обозначаемая через называется случайный процесс .

Если , то квадратическая вариация процесса является субмартингалом относительно меры Р и потока . Действительно, если , то . Отсюда P - п.н. Поэтому, в силу теоремы Дуба - Мейера существует единственный предсказуемый процесс, обозначаемый через называется характеристикой такой, что является мартингалом относительно меры Р и потока .

Пример. Вычислим квадратическую вариацию и характеристику точечного процесса .

1) . Так как , то имеем .

2) , где - компенсатор точечного процесса .

Определение. Взаимной вариацией опциональных процессов и , обозначаемая , называется опциональный процесс, определяемый равенством .

Теорема 98. Пусть существуют и . Тогда существует .

Доказательство следует из равенства

.

Следствие 99. Пусть имеется два опциональных процесса, имеющих ограниченную вариацию и . Тогда справедливо равенство P - п.н. .

Определение. Взаимной характеристикой квадратично-интегрируемых мартингалов и (относительно потока и меры Р) называется предсказуемый случайный процесс обозначаемый через такой, что является мартингалом относительно потока и меры Р.

Заметим, что существование процесса следует из теоремы Дуба - Мейера.

56. Интегрирование случайных процессов по мартингалами имеющим ограниченную вариацию (теорема 100).

Пусть - мартингал, имеющий интегрируемую вариацию. Пусть - ограниченный предсказуемый случайный процесс. Тогда определен P - п. н. интеграл Римана - Стилтьеса от предсказуемой функции h по мартингалу m: , где - разбиение отрезка , такое, что при . Из этого построения следует, что - измерим.

Теорема 100. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс, а - - мартингал имеющий ограниченную интегрируемую вариацию, т. е. М Var . Тогда определён интеграла Римана - Стилтьеса , являющийся: а) при каждом t - измеримой случайной величиной; б) мартингалом относительно потока и меры Р.

Доказательство. Утверждение а) теоремы очевидно. Установим б). Надо показать, что при P - п. н. Очевидно, что это равенство эквивалентно следующему . Действительно, пусть - разбиение отрезка (t, t ], тогда имеем .

По теореме Лебега о можарируемой сходимости, имеем, в силу свойств условного математического ожидания, P - п. н.

Последнее равенство следует из того факта, что P - п. н. .

Доказательство закончено.

57. Теорема Кэмбелла (следствие 101). Найдите характеристическую функцию Пуассоновского случайного процесса.

Теорема 30 (Кэмбелл). Пусть - считывающий процесс, а его компенсатор относительно меры Р. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс. Тогда .

Доказательство. Нам надо установить равенство

(5)

Заметим, что - мартингал, имеющий интегрируемую вариацию, поэтому (5) следует из теоремы 29.

Пример. Пусть пуассоновский процесс с интенсивностью . Найдём его характеристическую функцию. Заметим, сначала, что - мартингал относительно меры P. К функции применим формулу Ито (4), имеем

(6)

Возьмём математическое ожидание относительно левой и правой частей (6), учитывая (5), имеем . Заметим теперь, что . В силу теоремы Фубини имеем: . Отсюда следует, что

58. Свойства компенсатора точечного процесса (теорема 102). Случайная замена времени (теорема 103).

Теорема 102. Справедливы утверждения.

1) Компенсатор точечного процесса допускает един­ственное разложение , где - непрерывная составляющая, - разрывная составляющая.

2) Р - п. н.

3) P – п. н. для любого t.

Доказательство. 1) Первое утверждение теоремы следует из теоремы 24.

2) Так как , то . Заметим, что - измерим, поэтому . Так как , то Р - п. н.

3) Сначала заметим, что Р – п. н.

.

Так как является мартингалом, a - предсказуемый возрастающий процесс. Поэтому из теоремы Дуба - Мейера следует третье утверждение. Теорема доказана.

8.2. Пусть - точечный процесс, а - его компенсатор, где - измеримая функция.

Теорема 103. Пусть Р - п. н. . Пусть существует функция

, обозначаемая через , такая, что . Тогда - стандартный пуассоновский процесс (т. е. интенсивность его равна единице).

Доказательство. Сначала покажем, что процесс имеет компенсатор t, т. е. - мартингал относительно потока и меры Р. Пусть - ограниченный предсказуемый процесс, тогда имеем, в силу теоремы 30, .

Покажем теперь, что . Очевидно, что - точечный процесс, поэтому . Отсюда следует, что . Значит . Доказательство закончено.