Учебный год. Лектор Хаметов В.М. 7 страница

Теорема 51 (Дуба - Мейера)?. Пусть - субмартингал, относительно меры Р. Тогда существуют возрастающая предсказуемая последовательность и мартингал такие, что Р - п.н. для любого

, (8)

при этом представление (8) Р -п.н. единственно.

Доказательство. Без ограничения общности, можно считать, что и . Образуем две последовательности:

, (9)

. (10)

Складывая (9), (10) получим: . Нам надо убедиться в том, что - предсказуемый возрастающий процесс, а - мартингал (тем самым мы докажем теорему).

Рассмотрим последовательность . По условию - субмартингал, следовательно Р - п. н. , значит - неубывающая последовательность. Докажем, что -измеримо (т. е. предсказуема). Ясно, что -измеримо, поэтому в силу (10) -измеримо. Заметим, что - мартингал тогда и только тогда, когда

. Из определения следует, что Поэтому

P - п. н..

Предположим, что (8) не единственно, т.е. пусть Р - п. н.

_.
Поэтому Р - п. н. .
Отсюда следует Р - п. н.

, (11)

. (12)

Вычтем из (11), (12) имеем Р - п. н.

. (13)

Возьмем относительно левой и правой частой (13), имеем Р - п.н.

Так как -измеримо, а - мартингалы, тогда из последнего равенства следует, что

Р - п.н. для любого t . По построению , поэтому - Р - п. н. для любого t. Следовательно, разложение - единственно. Доказательство закончено.

31. Последовательность имеющая ограниченную вариацию. Семимартингалы. Критерий того, что последовательность является семимартингалом (теорема 55).

Определение. Будем говорить, что последовательность имеет ограниченную вариацию, если Р - п. н. .

Определение. Последовательность с ограниченной вариацией назовем случайной последовательностью с интегрируемой вариацией, если .

Из определения следует утверждение.

Теорема 54. Пусть - последовательность с ограниченной вариацией. Тогда существуют две возрастающие последовательности , такие, что Р - п. н. для любого .

Определение. Последовательность называется семимартингалом относительно меры Р, если она Р - п. н. для любого допускает представление

,

где - локальный мартингал относительно меры Р, - процесс ограниченной вариации.

Множество семимартингалов относительно фильтрации и меры Р обозначим через .

Теорема 55. Последовательность является относительно меры Р семимартингалом тогда и только тогда, когда она согласована с потоком .

Доказательство.Необходимость очевидна.

Достаточность. Поскольку процесс согласован с потоком , то он имеет ограниченную вариацию. Очевидно, что: i) , где , ii) Так как для любого , то существует Стало быть

, (14)

где такое, что - предсказуемо, а относительно меры Р и потока локальный мартингал. Отсюда следует утверждение теоремы так как имеет ограниченную вариацию. Доказательство закончено.

32. Формула Ито для согласования случайных последовательностей (теорема 58). Формула Ито для произведения двух семимартингалов. Квадратическая и взаимная вариация (определения).

Теорема 58 (формула Ито). Пусть и множество ограниченных непрерывно дифференцируемых функций . Пусть семимартингал относительно меры Р. Тогда Р - п. н. справедливо равенство

(16)

где - скалярное произведение в .

Доказательство. Очевидно равенство Р - п. н. Отсюда следует (16). Доказательство закончено.

Их формулы Ито (16) легко получить представление для произведения семимартингалов.

Теорема 59. Пусть и семимартингалы со значениями относительно меры P. Тогда P – п.н. справедливо равенство

В частности

Определение. Квадратической вариацией семимартингала , обозначаемого через , назовем случайную последовательность определяемую равенством

Определение. Взаимной вариацией семимартингалов и , обозначаемую через назовем случайную последовательность такую, что .

33. Определения квадратично интегрируемого мартингала и его характеристики. Характеризация характеристики квадратично интегрируемого мартингала (теорема 60).

Определение. Пусть мартингал относительно меры Р и , тогда такой мартингал называется квадратично интегрируемым.

Определение. Предсказуемая возрастающая последовательность, обозначаемая , называется характеристикой квадратично интегрируемого мартингала , если - мартингал относительно меры Р.

Теорема 60. Если квадратично интегрируемый мартингал, то у него существует единственная характеристика , причем:

i) Р - п. н.,

ii) - мартингал относительно меры Р.

Доказательство. Существование и единственность характеристики квадратично интегрируемого мартингала следует из теоремы Дуба-Мейера. Поэтому Р - п. н. справедливо представление

,

где мартингал относительно меры Р. Отсюда следует, что Р - п. н.

. (17)

Возьмем условное математическое ожидание относительно левой и правой частей (17), имеем Р - п. н.

Покажем, теперь, что - мартингал.

Для этого достаточно показать, что Р - п. н.

Действительно, так как

a то . Доказательство закончено.

34. Взаимная характеристика. Ортогональные квадратично интегрируемые мартингалы. Критерий ортогональности (теорема 62).

Определение. Пусть и – квадратично интегрируемые мартингалы, предсказуемый случайный процесс, обозначаемый через , называется взаимной характеристикой квадратичноинтегрируемых мартингалов и , если является мартингалом относительно фильтрации и меры Р.

Теорема 61. Если и квадратично интегрируемые мартингалы, то взаимная характеристика существует и единственна, причем:

i)

ii) Р - п. н.

Доказательство. Сначала заметим, что и – квадратично интегрируемые мартингалы. Поэтому и - являются мартингалами, причем и - единственные предсказуемые возрастающие процессы. Заметим, что и поэтому является мартингалом относительно фильтрации и меры Р.

Отсюда следует утверждение теоремы.

Определение. Пусть , квадратично интегрируемые мартингалы относительно фильтрации и меры Р. Будем говорить, что и ортогональны, если является мартингалом.

Теорема 62. Для того чтобы квадратично интегрируемые мартингалы и были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы Р - п. н. для любого .

Доказательство. Пусть и ортогональны. В силу формулы Ито, имеем

(18)

Заметим, что второе, третье и четвертое слагаемые правой части (18) являются мартингалами, поэтому является мартингалом тогда и только тогда, когда Р - п. н..

35. Разложение Куниты-Ватанабе (теорема 64).

Теорема 63 (неравенство Куниты - Ватанабэ). Пусть и квадратично интегрируемые мартингалы. Тогда Р - п. н. для любого

Доказательство следует из неравенства Коши и определения взаимной характеристики квадратично интегрируемого мартингала.

Теорема 64 (Разложение Куниты-Ватанабэ). Пусть и -квадратично интегрируемые мартингалы относительно меры Р, принимающие значения в .

Тогда существуют последовательности: i) -предсказуемая; ii) мартингал относительно мер Р ортогональный мартингалу ; такие, что Р - п.н. справедливо разложение

, (19)

причем разложение (19) –единственно.

Доказательство. Обозначим для любого .

(20)

Очевидно, что - предсказуема. В силу того, что:

i) -мартингал относительно меры Р;

ii) из определения следует, что -мартингальное преобразование, а из неравенства Куниты-Ватанабэ следует, что оно является квадратично интегрируемым мартингалом относительно меры Р.

Поэтому - мартингал относительно меры Р.

Покажем, что - мартингал относительно меры Р. Для этого достаточно установить, в силу формулы Ито, равенство

Р - п.н., которое следует из (20). Отсюда вытекает, что Р - п.н.. Следовательно,

Установим единственность разложения (19). Действительно, пусть существуют и относительно которых справедливо разложение (19). Тогда, если , то из (19) следует, что - мартингал относительно потока и меры Р. Поэтому - мартингал. Следовательно, Р - п.н. Доказательство закончено.

36. Локальная плотность. Докажите, что локальная плотность является неотрицательным мартингалом (теорема 65).

Пусть на фильтрованном измеримом пространстве заданы две вероятностные меры и Р. Обозначим через и сужение вероятностных мер и Р, соответственно, на .

Обозначим .

Определение. Мера называется локально абсолютно непрерывной относительно меры Р (обозначаем ), если для каждого n.

Определение. Мера называется локально эквивалентной мере Р (обозначаем ), если для каждого n, т.е. и для каждого .

Обозначим через - производную Радона - Никодима, которую мы будем называть локальной плотностью. Отметим, что из не следует .

Теорема 65. Пусть - локальная плотность меры относительно меры Р. Тогда - мартингал относительно меры Р.

Доказательство. Пусть , имеем
Отсюда в силу произвольности А получаем, что Р - п. н. для . Доказательство закончено.

Следствие 66. Если - равномерно интегрируемый неотрицательный мартингал, то существует - измеримая неотрицательная случайная величина такая, что и Р - п. н. (Это утверждение вытекает из теоремы (леммы Фату).

37. Теорема (67) Гирсанова.

Теорема 67 (Гирсанов). Пусть - локальный мартингал относительно меры Р, а - локальная плотность меры относительно меры Р. Пусть и для любого

Р - п. н. Тогда относительно меры последовательность определяемая соотношением

является локальным мартингалом.

Доказательство. Пусть -измеримая случайная величина. Тогда Р - п. н. справедливо равенство