Учебный год. Лектор Хаметов В.М. 6 страница

Возведем в квадрат левую и правую части последнего равенства, а затем возьмем математическое ожидание от левой и правой частей, имеем из получившегося равенства:

=

Так как , то отсюда следует, что

.

Покажем, что - гауссовская последовательность. Доказательство проведём по индукции. Пусть - гауссовская случайная величина. Очевидно, что тоже гауссовская. Действительно, так как сумма двух гауссовских величин есть гауссовская величина, то гауссовская случайная величина. Таким образом основной шаг индукции установлен, а с ним доказано утверждение.

26. Полумартингал (определения). Примеры

Пусть (, , , Р) – стохастический базис, последовательность { - согласована с потоком , и принимает значения в .

Определение. Последовательность (, ) _{t > 1} называется мартингалом, если:
1) , 2)

Если выполнено 1) и Р -п. н., то последовательность (, ) _{t >0} называется супермартингалом.

Если выполнено 1) и Р - п. н., то последовательность (, ) _{t >0} называется субмартингалом.

Пример. Пусть , где независимые в совокупности случайные величины. Пусть , . Ясно, что

=

= + + + .

Отсюда следует, что:

а) (, ) _{t > 1}- мартингал, если для любого t;

б) (, ) _{t > 1}- супермартингал, если для любого t;

в) (, ) _{t > 1}- субмартингал, если для любого t;

27. Теорема (40) Дуба о существовании конечного предела у неотрицательного однородного мартингала.

Теорема 40 (Дуба). Пусть (, ) _{t >0} – неотрицательный супермартингал, тогда с вероятностью 1 существует .

Замечания. 1) Покажем, что предложения о неотрицательности супермартингала (, ) _{t >0} можно отказаться. Очевидно, что М М , т.е. в среднем последовательность - убывает. Пусть Образуем новую последовательность . Понятно, что .Тогда , значит любой супермартингал представим в виде разности двух неотрицательных супермартингалов.

2) Если - супермартингал, то - субмартингал. Поэтому утверждение теоремы 6 верно и для субмартингалов.

Доказательство теоремы Дуба опирается на две вспомогательные леммы.

Пусть числовая последовательность, a<b, [ a,b ] – отрезок. Обозначим - число пересечений отрезка [ a,b ] последовательностью снизу вверх.

Лемма 41 (О числе пересечений отрезка [ a,b ] снизу вверх).

Справедливо неравенство:

,

где

Доказательство. Обозначим

, ,

, ,

,

Очевидно, что

Отсюда следует, что

(b-a) = .

Докзательство закончено.

Лемма 42. (О среднем числе пересечений). Пусть (, ) _{t >0} – неотрицательный супермартингал, тогда М .

Доказательство. В силу леммы 41 имеем неравенство:

.

Так как (, ) _{t >0} - супермартингал, то М () ≤ 0. Отсюда следует неравенство

. Доказательство закончено.

Доказательство теоремы 40. Предположим, что у последовательности не существует конечного предела. Через В обозначим множество не имеет конечного предела}. Наше предположение выполнено, если:

1) Р - п. н.,

2) Р - п. н.

Обозначим: А }, C = }. Очевидно, что , поэтому . Значит для доказательства теоремы достаточно доказать, что Р (А) =0 и Р (С)=0.

Покажем, что Р (А)=0. В силу неравенства Чебышева и леммы Фату имеем Р ( . Устремляя теперь , получаем Р (А)=0.

Теперь докажем, что Р (С)=0. Заметим, что

, где и - рациональные числа}= = .

Рассмотрим вероятность Р ( N) в силу неравенства Чебышева и леммы 8 мы имеем:

Р ( N) .

Устремляя теперь , получаем неравенство Р ( N) . Отсюда следует, что Р (, т.е. Р (С)=0. Доказательство закончено.

28. Равномерно интегрируемые мартингалы. Марковские моменты. Примеры марковских моментов. Свойства марковских моментов.

Определение. Мартингал называется равномерно интегрируемым, если

.

Теорема 43. Пусть равномерно интегрируемый мартингал, тогда Р -п.н. существует случайная величина такая, что:

а) = Р - п. н.,

б) М | - Р - п. н.

Определение. Отображение называется марковским моментом, если для .

Конечный марковский момент (Р ()=1) называется моментом остановки.

Обозначим для всех }.

Примеры: 1) .

2) Пусть - случайная последовательность, а -марковский момент. Определим , где Тогда измерима. (Докажите самостоятельно).

3) Пусть марковский момент. Действительно:

.

Предложение 44. Пусть марковский момент. Тогда 1) , 2)

Доказательство. 1) Очевидно . Поэтому из определения марковского момента следует, что . Второе утверждение очевидно.

Пусть марковский момент относительно фильтрации .

Предложение 45. 1) Если t, s - марковские моменты, то min(t,s),

max(s,t), t+s, (t-s)⁺ max(t-s,0) являются марковскими моментами.

2) Если - марковские моменты и Р - п. н., то .

3) Если - марковские моменты, то принадлежат и .

4) Если - последовательность марковских моментов. Тогда t_n, t_n, t_n , t_n, t_n также являются марковскими моментами.

29. Остановленная последовательность. Локализующая последовательность марковских моментов. Локальные полумартингалы. Мартингал – разность. Докажите, что всякий локальный мартингал является супермартингалом (теорема 49).

Определение. Последовательность называется остановленной, если

Определение. Последовательность марковских моментов называется t-локализующей, если она неубывающая и Р - п. н. существует t = t_n. Если ¥, то называется локализующей.

Определение. Последовательность называется локальным полумартингалом, если существует локализующая последовательность , такая, что остановленная последовательность является полумартингалом.

Определение. Последовательность называется мартингал-разностью, если существует М (x_t | ) для любого и М () =0 Р - п. н.

Из этого определения следует утверждение.

Предложение 13. Последовательность , где является мартингалом (относительно меры Р) тогда и только тогда, когда является мартингал разностью.

Теорема 16. Пусть - локальный мартингал (относительно меры Р). Тогда последовательность является супермартингалом (относительно меры Р).

Доказательство. В силу условий существует локализующая последовательность марковских моментов такая, что

P - п. н., причем Р - п. н. Поэтому в силу леммы Фату, имеем P - п. н.

= = ³ M( | ) =

= .

Доказательство закончено.

30. Мартингальные преобразования. Теорема Дуба-Мейера (теорема 50).

Определение. Последовательность называется предсказуемой, если -измеримо при каждом t.

Соглашение: .(F-1=F0)

Пусть - мартингал относительно меры Р. Обозначим
. (пропущено =)

Определение. Последовательность (пропущено =), где -предсказуемая последовательность, а - мартингал. Такое преобразование называется мартингальным.

Теорема 50. Пусть ограниченная предсказуемая последовательность, а , где – мартингал относительно меры P, тогда - мартингал (относительно меры Р).

Доказательство. Действительно, очевидна оценка:
,так как по условию Р - п.н. для ). Отсюда следует, что . (Здесь мы воспользовались тем, что .)

Осталось показать Р - п. н. . Для этого достаточно доказать, что Действительно, для Р - п.н. имеем

. Доказательство закончено.

Определение. Последовательность называется возрастающей, если Р - п. н. для всех .