Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
1. Измеримое пространство. Примеры измеримых пространств.
Определение. с алгеброй F называется измеримым пространством и обозначается (, F).
Определение. Система F - подмножеств множества называется алгеброй, если:
1) она является алгеброй,
2) , для то и .
Определение. Пусть . - система подмножеств множества называется алгеброй если:
а) , ;
б) А А А ;
в) А А
Примеры измеримых пространств
Измеримое пространство (R1, B (R1))
Пусть R1 =(- , ] – действительная прямая и (a,b ] = { R1: } для всех . Обозначим через А (R1) систему множеств в R1, состоящую из конечных сумм непересекающих интервалов вида (a,b ]: А (R1), где . Нетрудно видеть, что эта система множеств, а также – образуют алгебру – А (R1), которая не является алгеброй, так как А (R1), но А (R1).
Из предыдущих построений следует, что B (R1) состоит из интервалов вида , где , и их счетных объединений и пересечений. Отсюда следует, что:
i) ii) iii)
Измеримое пространство (Rn, B (Rn))
Пусть Rn = R R … R – называется прямое или декартово произведение n экземпляров числовой прямой, то есть, множество упорядоченных наборов , где , .
Множество где , называется прямоугольником, то есть, Rn: , а - его сторонами.
Через (Rn) обозначим совокупность всех прямоугольников из Rn. (Rn) - наименьшая алгебра порожденная - называется борелевской алгеброй множеств Rn, которую и обозначим через B (Rn).
Измеримое пространство (R , B (R ))
R - пространство числовых последовательностей где - , Пусть - борелевское множество к -ой числовой прямой (то есть, множество B (R1)). Рассмотрим множества:
i) R : };
ii) R : };
iii) B (R ) R : .
Такие множества называются цилиндрическими, причем называют основанием цилиндра, а остальные координаты – образующими цилиндра. Нетрудно видеть, что множества , , образуют алгебру. Обозначим наименьшие алгебры, порожденные множествами вида i)-iii) через B (R ), B 1(R ), B 2(R ), соответственно. Можно показать, что эти алгебры совпадают.
Измеримое пространство (RТ , B (RТ))
Пусть Т – произвольное пространство, множество. Пространство RТ – совокупность действительных функций на T со значениями в R1, обозначенные . Для простоты будем считать, что . Обозначим: , где . Проводя рассуждения аналогичные приведенным в пункте 2.3, легко построить алгебру борелевских множеств на RТ, порожденную цилиндрическими множествами и обозначаемую через B (RТ).
Возникает вопрос: какова структура множества B (RТ)? Оказывается, что любое множество B (RТ) допускает представление , где B (R ). Отсюда следует, что множества, зависящие от поведения функций в несчетном числе точек t Т необязаны быть измеримыми относительно B (RТ). Например: i) }, ,
ii) - непрерывные в точке .
В связи с неизмеримостью некоторых множеств из RТ по отношению к B (RТ) естественно рассматривать более узкие функциональные пространства.
Измеримое пространство (С[0,T], B (С[0,T])).
Пусть Т =[0,1], С [0,1] - пространство непрерывных функций xt, t [0,1], со значениями в R1. Очевидно, С [0,1] –метрическое пространство, относительно метрики ρ(х,у)= , то есть ρ(х,у) – расстояние между двумя непрерывными функциями, обладающие свойствами:
1) ρ (х,у)= 0 x=y; 2) ρ (х,у)= ρ (у,x); 3) ρ (х,у) ρ (x,z)+ ρ(z,y).
Через B (С[0,T]) обозначим наименьшую алгебру, порожденную цилиндрическими множествами, которые строятся аналогично пункту (RТ , B (RТ)).
Измеримое пространство (D,B(D)).
D – пространство функций xt, t [0,1], со значениями в R1, непрерывные справа, имеющие пределы слева в любой точке t [ 0,1 ]. В нем также можно ввести метрику:
ρs(x,y) inf { ,
где - множество строго возрастающих непрерывных на отрезке [0,1] функций , причем и }. -алгебра B(D) строится аналогично пункту (RТ , B (RТ)).
2. Задание вероятностной меры на (R1,B(R1)). (теорема 4) Классификация мер на (R1,B(R1)).
Измеримое пространство (R1, B (R1)).
Пусть F: R1 [0,1] - измеримая функция, обладающая свойствами:
1) неубывающая;
2) F(- )= 0 F()= 1, где F(- )= и F() = ;
3) непрерывна справа и имеет предел слева в каждой точке R1.
Определение. Всякая функция F(x), удовлетворяющая свойствам 1)- 3) называется функцией распределения на R1.
Теорема 4. Пусть - функция распределения на R1, тогда на (R1, B (R1)) существует и притом единственная вероятностная мера Р такая, что для любых , причем , Р
Пример: пусть функция распределения имеет вид:
=
Соответствующую ей меру называют мерой Лебега отрезка и обозначают Λ, причем Λ
Приведем классификацию мер на (R1, B (R1)).
Дискретные меры.
Пусть - функция распределения кусочно-постоянна и меняет свои значения в точках х1,х2, …, причем где Ясно, что соответствующая этой функции распределения вероятностная мера Р сосредоточена в точках х1,х2, …, причем Р .
Набор чисел где - называется дискретным распределением.
Примеры дискретных распределений содержатся в приведенной ниже таблице.
Распределение | Параметры | |
1. Дискретное равномерное | ||
2. Бернулли | - вероятность успеха, | |
3. Биноминальное | , | |
4. Пуассоновское Пк | Пk | |
5. Геометрическое = | ||
6. Отрицательное биноминальное |
Абсолютно непрерывные меры.
Пусть существует неотрицательная функция такая, что функция распределения допускает представление:
Функцию () называют плотностью функции распределения .
Пример: Функцию , называют гауссовской плотностью. Легко убедиться в том, что
Сингулярные распределения.
Определение. Точка называется точкой роста функции распределения , если для любого .
Определение. Сингулярными мерами называются меры, функции распределения которых непрерывны, причем точки роста, которые образуют множество нулевой меры Лебега.
Пример. Возьмем отрезок и построим на нем сингулярную функцию распределения с помощью приема, принадлежащего Кантору Г. Пусть F o – функция распределения, соответствующая мере Лебега на отрезке [0,1].Разделим на 3 равные части и определим - функцию распределения следующим образом:
= 0, при x < 0; = x, при x [0, ); = , при x [ , ); = x – , при x [ ,1); = 1, при x > 1. Затем, каждый из интервалов и опять поделим на 3 равные части и определим функцию распределения следующим образом:
= 0, при x < 0; = x, при x [0, ); = при x [ , ]; = x - , при x [ , ]; = при x [ , ); = x – 1, при x [ , ); = при x [ , ); = x - , при x [ ,1].
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 271 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!