![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Доказательство пункта б) следует из а), если вместо исходных случайных величин рассмотреть случайные величины со знаком минус.
12. Лемма Фату(теорема 16), теорема Лебега о мажорируемой сходимости (теорема 17). Равномерно интегрируемое семейство случайных величин. Критерий равномерной интегрируемости(теорема 19).
Теорема 20 (Лемма Фату). Пусть случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) если то
;
б) если , то
,
в) если ,то
.
Доказательство. а) Пусть
. Тогда
=
. Ясно, что
и
для всех
. Тогда по теореме 18 имеем
М М
М
. Таким образом а) –доказано.
Утверждения б) и в) доказываются аналогично.
Теорема 17 (Лебега о мажорируемой сходимости). Пусть случайные величины такие, что P – п.н.
и
Тогда 1)
, 2)
при
.
Доказательство. По условию
Р - п.н. Поэтому в силу пункта а) леммы Фату и по свойству G) математических ожиданий имеем М
М
. Таким образом первое утверждение установлено, так как из неравенства
следует, что
.
Утверждение 2) доказывается также, если заметить, что .
Определение. Семейство случайных величин называется интегрируемым (р.и.), если
когда
или
.
Очевидно, что если последовательность такая, что
и
, то семейство
- р.и.. Приведем критерий равномерной интегрируемости последовательности
.
Теорема 19. Последовательности равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия:
i) для любого существует такое
, что
и
;
ii) .
Доказательство. Для любой положительной случайной величины , множества
и всех
справедливо неравенство
+
.
Отсюда вытекает, что
+
(4)
Необходимость условия i) следует из (4), если в нем положить что
и Р (А) . Условие ii) следует из (4), если в нем положить
.
Обратно. Сначала заметим, что для любой положительной случайной величины справедливо неравенство
М
. (5)
Если выполнено ii), то в силу (5) имеем
.
Если выполнено i), то возьмем такое, что
для любых
. Тогда
для всех
. Стало быть семейство
-равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.
Предложение. Семейство случайных величин равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда
.
Доказательство. Необходимость очевидна, так как
.
Достаточность. Обозначим р(с)
. Очевидно, что
р(с) = 0. Заметим, что:
1) для всех с, поэтому
;
2)
. (6)
Пусть и выберем c таким, что р(c)
, а
таким, что
. Тогда в силу (6)
для любого n. Значит семейство равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.
13. Достаточное условие равномерной интегрируемости (теорема 20). Докажите: если семейство {ξ n}n≥1 – равномерно интегрируемо, то М| ξ n |<∞ (теорема 21).
Теорема 20. Пусть - последовательность интегрируемых случайных величин, а
- возрастающая функция такая, что
и
. Тогда семейство
- равномерно интегрируемо.
Доказательство. Пусть
. Выберем для
число
большим таким, что
. Тогда
равномерно по n. Доказательство закончено.
Теорема 21. Пусть семейство случайных величин - равномерно интегрируемо. Тогда
Доказательство. Для фиксированного , имеем в силу теоремы 22
(Следствие 22. Пусть выполнены условия теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и для р>1. Тогда
и
.)
для любого конечного
=
+
. Доказательство закончено.
14. Сходимость в пространстве Lp, p принадлежит [1, ∞]. Критерий Коши(теорема 24).
Определение. Множество действительных случайных величин таких, что
при
и
, при
обозначим через
и в этом случае будем писать
,
. Отметим, что
при
является банаховым пространством относительно нормы:
, при
,
, при
.
Из этих определений следует, что: а) , если
; б)
- является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения
, где
.
Определение. Пусть - последовательность случайных величин такая, что
. Будем говорить, что
сходится в среднем порядка р к случайной величине
, если
и использовать обозначение
.
В частности, если: 1) р=1 и , то говорят, что
сходится к
в среднем; 2) р=2 и
, то говорят, что
сходится к
в среднеквадратическом смысле и обозначают
; 3) при р =
сходимость называется существенно равномерной.
Теорема 24. Пусть последовательность из
,
. Следующие утверждения эквивалентны:
1) - сходящаяся в
последовательность,
2) при
.
15. Слабая компактность в L1. Критерий Данфорда-Петтиса (теорема 26).
Опишем теперь слабую сходимость в .
Определение. Последовательность с
называется слабо сходящейся в
к случайной величине
с
, если для любой ограниченной случайной величины
справедливо равенство
.
Определение. Последовательность случайных величин называется слабо компактной в
, если она содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.
Приведем критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса.
Теорема 26. Для того чтобы последовательность случайных величин с
была слабо компактной в
необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно интегрируема.
16. Относительная слабая компактность семейства вероятностных мер. Теорема Прохорова (теорема 29)
Пусть на (Ω, F, P) задана последовательность случайных элементов со значениями в
, где E - польское пространство, т.е. полное сепарабельное метрическое пространство, а
алгебра на E.
Определение. Будем говорить, что - последовательность случайных элементов
со значениями в E сходится по распределению при
к случайному элементу
со значениями в E и обозначать
, если для любой функции
Сb(E), где Сb(E) - пространство непрерывных ограниченных на E функций со значениями в R1, справедливо
(
) = M
(
).
Определение. Семейство вероятностных мер на
называется слабо сходящимся к некоторой мере P0 и обозначается
P n P 0 , если для любой
Сb(E)
=
.
Из этих определений вытекает утверждение.
Теорема 27. Пусть - семейство случайных элементов, а
соответствующее им семейство распределений
, тогда и только тогда, когда P n
P о, т.е.
(
) = M
(
), для
Сb(E).
Определение. Семейство вероятностных мер { P n}n > 1 на называется относительно компактным, если оно содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере Р.
Определение. Семейство вероятностных мер { P n}n > 1 называется плотным, если для любого >0 существует компакт
E такой, что
Рn (
<
.
Приведем достаточное условие плотности семейства { P n}n > 1.
Предложение 28. Если последовательность случайных величин , где
>0, равномерно интегрируема, то семейство { P n}n > 1 плотно.
Следующее утверждение играет фундаментальную роль в теории слабой сходимости.
Теорема 29 (Прохоров) Пусть { P n}n > 1 – семейство вероятностных мер на . { P n}n > 1 – относительно компактно тогда и только тогда, когда оно является плотным. (без доказательства).
17. Неравенства Чебышёва, Йенсена, Гёльдера.
18. Абсолютная непрерывность вероятностных мер. Теорема Радона-Никодима (теорема 31)
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 297 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!