Учебный год. Лектор Хаметов В.М. 4 страница

Доказательство пункта б) следует из а), если вместо исходных случайных величин рассмотреть случайные величины со знаком минус.

12. Лемма Фату(теорема 16), теорема Лебега о мажорируемой сходимости (теорема 17). Равномерно интегрируемое семейство случайных величин. Критерий равномерной интегрируемости(теорема 19).

Теорема 20 (Лемма Фату). Пусть случайные величины. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если то ;

б) если , то ,

в) если ,то .

Доказательство. а) Пусть . Тогда = . Ясно, что и для всех . Тогда по теореме 18 имеем

М М М . Таким образом а) –доказано.

Утверждения б) и в) доказываются аналогично.

Теорема 17 (Лебега о мажорируемой сходимости). Пусть случайные величины такие, что P – п.н. и Тогда 1) , 2) при .

Доказательство. По условию Р - п.н. Поэтому в силу пункта а) леммы Фату и по свойству G) математических ожиданий имеем М М . Таким образом первое утверждение установлено, так как из неравенства следует, что .

Утверждение 2) доказывается также, если заметить, что .

Определение. Семейство случайных величин называется интегрируемым (р.и.), если когда или .

Очевидно, что если последовательность такая, что и , то семейство - р.и.. Приведем критерий равномерной интегрируемости последовательности .

Теорема 19. Последовательности равномерно интегрируема тогда и только тогда, когда выполняются условия:

i) для любого существует такое , что и ;

ii) .

Доказательство. Для любой положительной случайной величины , множества и всех справедливо неравенство

+ .

Отсюда вытекает, что

+ (4)

Необходимость условия i) следует из (4), если в нем положить что

и Р (А) . Условие ii) следует из (4), если в нем положить .

Обратно. Сначала заметим, что для любой положительной случайной величины справедливо неравенство

М . (5)

Если выполнено ii), то в силу (5) имеем

.

Если выполнено i), то возьмем такое, что для любых . Тогда для всех . Стало быть семейство -равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.

Предложение. Семейство случайных величин равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда .

Доказательство. Необходимость очевидна, так как .

Достаточность. Обозначим р(с) . Очевидно, что р(с) = 0. Заметим, что:

1) для всех с, поэтому ;

2)

. (6)

Пусть и выберем c таким, что р(c) , а таким, что . Тогда в силу (6) для любого n. Значит семейство равномерно интегрируемо. Доказательство закончено.

13. Достаточное условие равномерной интегрируемости (теорема 20). Докажите: если семейство {ξ _n}n≥1 – равномерно интегрируемо, то М| ξ _n |<∞ (теорема 21).

Теорема 20. Пусть - последовательность интегрируемых случайных величин, а - возрастающая функция такая, что и . Тогда семейство - равномерно интегрируемо.

Доказательство. Пусть . Выберем для число большим таким, что . Тогда равномерно по n. Доказательство закончено.

Теорема 21. Пусть семейство случайных величин - равномерно интегрируемо. Тогда

Доказательство. Для фиксированного , имеем в силу теоремы 22

(Следствие 22. Пусть выполнены условия теоремы Лебега о мажорируемой сходимости и для р>1. Тогда и .)

для любого конечного

=

+ . Доказательство закончено.

14. Сходимость в пространстве L_p, p принадлежит [1, ∞]. Критерий Коши(теорема 24).

Определение. Множество действительных случайных величин таких, что при и , при обозначим через и в этом случае будем писать , . Отметим, что при является банаховым пространством относительно нормы: , при , , при .

Из этих определений следует, что: а) , если ; б) - является гильбертовым пространством относительно скалярного произведения , где .

Определение. Пусть - последовательность случайных величин такая, что . Будем говорить, что сходится в среднем порядка р к случайной величине , если и использовать обозначение .

В частности, если: 1) р=1 и , то говорят, что сходится к в среднем; 2) р=2 и , то говорят, что сходится к в среднеквадратическом смысле и обозначают ; 3) при р = сходимость называется существенно равномерной.

Теорема 24. Пусть последовательность из , . Следующие утверждения эквивалентны:

1) - сходящаяся в последовательность,

2) при .

15. Слабая компактность в L₁. Критерий Данфорда-Петтиса (теорема 26).

Опишем теперь слабую сходимость в .

Определение. Последовательность с называется слабо сходящейся в к случайной величине с , если для любой ограниченной случайной величины справедливо равенство .

Определение. Последовательность случайных величин называется слабо компактной в , если она содержит слабо сходящуюся подпоследовательность.

Приведем критерий слабой компактности Данфорда-Петтиса.

Теорема 26. Для того чтобы последовательность случайных величин с была слабо компактной в необходимо и достаточно, чтобы она была равномерно интегрируема.

16. Относительная слабая компактность семейства вероятностных мер. Теорема Прохорова (теорема 29)

Пусть на (Ω, F, P) задана последовательность случайных элементов со значениями в , где E - польское пространство, т.е. полное сепарабельное метрическое пространство, а алгебра на E.

Определение. Будем говорить, что - последовательность случайных элементов со значениями в E сходится по распределению при к случайному элементу со значениями в E и обозначать , если для любой функции С_b(E), где С_b(E) - пространство непрерывных ограниченных на E функций со значениями в R¹, справедливо () = M ().

Определение. Семейство вероятностных мер на называется слабо сходящимся к некоторой мере P₀ и обозначается
P _n P ₀ , если для любой С_b(E)

= .

Из этих определений вытекает утверждение.

Теорема 27. Пусть - семейство случайных элементов, а соответствующее им семейство распределений , тогда и только тогда, когда P _n P _о, т.е. () = M (), для С_b(E).

Определение. Семейство вероятностных мер { P _n}_{n > 1} на называется относительно компактным, если оно содержит подпоследовательность, слабо сходящуюся к некоторой вероятностной мере Р.

Определение. Семейство вероятностных мер { P _n}_{n > 1} называется плотным, если для любого >0 существует компакт E такой, что Р_n ( < .

Приведем достаточное условие плотности семейства { P _n}_{n > 1}.

Предложение 28. Если последовательность случайных величин , где >0, равномерно интегрируема, то семейство { P _n}_{n > 1} плотно.

Следующее утверждение играет фундаментальную роль в теории слабой сходимости.

Теорема 29 (Прохоров) Пусть { P _n}_{n > 1} – семейство вероятностных мер на . { P _n}_{n > 1} – относительно компактно тогда и только тогда, когда оно является плотным. (без доказательства).

17. Неравенства Чебышёва, Йенсена, Гёльдера.

18. Абсолютная непрерывность вероятностных мер. Теорема Радона-Никодима (теорема 31)