Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Подключение источника постоянного напряжения в последовательной RC - цепи



Схема показана на рис. 1.12. В момент времени t = 0 ключ замыкается.

Рис. 1. 12.

Начальные условия. До коммутации цепь находилась в состоянии покоя (источник отключен от цепи) и поэтому uC (0+) = uC (0-) = 0, т.е. имеем нулевые начальные условия.

Уравнения Кирхгофа и дифференциальное уравнение. Для t ³ 0 уравнение по второму закону Кирхгофа uR (t) + uC (t) = i (t) R + uC (t) = U0, где

uR (t) и uC (t) - напряжения на резисторе и конденсаторе; i (t) - ток в цепи. Ток в конденсаторе связан известным соотношением с напряжением на конденсаторе , после подстановки которого в уравнение Кирхгофа получим дифференциальное уравнение:

(1.17)

Полученное уравнение является линейным дифференциальным неоднородным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Первый порядок уравнения получен потому, что цепь после коммутации содержит один реактивный элемент.

Решение дифференциального уравнения будем искать в виде суммы свободной и вынужденной составляющих uC (t) = uCсв (t) + uCвын (t).

а). Для определения uCсв (t) составляем характеристическое уравнение pRC + 1 = 0 и вычисляем его корень p1 = - 1 / RC. Свободная составляющая решения записывается в следующем виде (см. 1.8):

(1.18)

где t = RC имеет размерность времени и называется постоянной времени RC - цепи; А1 - постоянная интегрирования, которая в дальнейшем определяется из начальных условий.

б). Вынужденную составляющую uCвын (t) будем определять как установившееся значение uCуст (t) искомой переменной в цепи после коммутации. Поскольку на входе цепи включается источник постоянного напряжения, то в ней установится режим постоянного тока. В этом режиме емкостной элемент представляет из себя обрыв цепи и схему можно представить в виде рис. 1.13.

Рис. 1.13.

Ток в такой цепи iуст = 0 и из второго уравнения Кирхгофа iуст R + uCуст = 0 следует, что uCуст = U0. Таким образом, полное напряжение на конденсаторе равно

uC (t) = uCсв (t) + uCвын (t) = + U0

(1.19)

в). Для определения А1 используем начальное условие uC (0+) = 0. Полученное решение (1.19) должно удовлетворять этому начальному условию. При t = 0 имеем: uC (0+) = А1 + U0 = 0, откуда получаем А1 = - U0. Подставляя это значение в (1.19), получим окончательное решение

(1.20)

Функцию тока i (t) в цепи определим с помощью найденного напряжения uC (t) по формуле

.

(1.21)

Функции тока i (t) и напряжения uC (t) представлены на рис. 1.14 и описывают процесс заряда конденсатора. Напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает, а ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи t, т.е. чем медленнее затухает свободное напряжение uCсв (t).

Необходимо отметить, что до коммутации токи и напряжения в цепи были равны нулю. В момент коммутации напряжение остается нулевым, а ток скачком изменяется до величины i (0+) = U0 / R, а затем постепенно спадает до нуля. Скачок тока не противоречит законам коммутации, т.к. это не ток в индуктивном элементе.





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 1184 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...