Подключение источника постоянного напряжения в последовательной RC - цепи

Схема показана на рис. 1.12. В момент времени t = 0 ключ замыкается.

Рис. 1. 12.

Начальные условия. До коммутации цепь находилась в состоянии покоя (источник отключен от цепи) и поэтому u_C (0₊) = u_C (0_-) = 0, т.е. имеем нулевые начальные условия.

Уравнения Кирхгофа и дифференциальное уравнение. Для t ³ 0 уравнение по второму закону Кирхгофа u_R (t) + u_C (t) = i (t) R + u_C (t) = U₀, где

u_R (t) и u_C (t) - напряжения на резисторе и конденсаторе; i (t) - ток в цепи. Ток в конденсаторе связан известным соотношением с напряжением на конденсаторе , после подстановки которого в уравнение Кирхгофа получим дифференциальное уравнение:

(1.17)

Полученное уравнение является линейным дифференциальным неоднородным уравнением первого порядка с постоянными коэффициентами. Первый порядок уравнения получен потому, что цепь после коммутации содержит один реактивный элемент.

Решение дифференциального уравнения будем искать в виде суммы свободной и вынужденной составляющих u_C (t) = u_Cсв (t) + u_Cвын (t).

а). Для определения u_Cсв (t) составляем характеристическое уравнение pRC + 1 = 0 и вычисляем его корень p₁ = - 1 / RC. Свободная составляющая решения записывается в следующем виде (см. 1.8):

(1.18)

где t = RC имеет размерность времени и называется постоянной времени RC - цепи; А₁ - постоянная интегрирования, которая в дальнейшем определяется из начальных условий.

б). Вынужденную составляющую u_Cвын (t) будем определять как установившееся значение u_Cуст (t) искомой переменной в цепи после коммутации. Поскольку на входе цепи включается источник постоянного напряжения, то в ней установится режим постоянного тока. В этом режиме емкостной элемент представляет из себя обрыв цепи и схему можно представить в виде рис. 1.13.

Рис. 1.13.

Ток в такой цепи i_уст = 0 и из второго уравнения Кирхгофа i_уст R + u_Cуст = 0 следует, что u_Cуст = U₀. Таким образом, полное напряжение на конденсаторе равно

u_C (t) = u_Cсв (t) + u_Cвын (t) = + U₀

(1.19)

в). Для определения А₁ используем начальное условие u_C (0₊) = 0. Полученное решение (1.19) должно удовлетворять этому начальному условию. При t = 0 имеем: u_C (0₊) = А₁ + U₀ = 0, откуда получаем А₁ = - U₀. Подставляя это значение в (1.19), получим окончательное решение

(1.20)

Функцию тока i (t) в цепи определим с помощью найденного напряжения u_C (t) по формуле

.

(1.21)

Функции тока i (t) и напряжения u_C (t) представлены на рис. 1.14 и описывают процесс заряда конденсатора. Напряжение на емкости и ток в цепи не устанавливаются мгновенно. Напряжение возрастает, а ток спадает тем медленнее, чем больше постоянная времени цепи t, т.е. чем медленнее затухает свободное напряжение u_Cсв (t).

Необходимо отметить, что до коммутации токи и напряжения в цепи были равны нулю. В момент коммутации напряжение остается нулевым, а ток скачком изменяется до величины i (0₊) = U₀ / R, а затем постепенно спадает до нуля. Скачок тока не противоречит законам коммутации, т.к. это не ток в индуктивном элементе.