Подключение источника постоянного напряжения в последовательной RL - цепи

Схема показана на рис. 1.6 при u ₀(t) = U ₀. В момент времени t = 0 ключ замыкается.

Рис. 1.6.

Начальные условия. До коммутации токи и напряжения в RL - цепи были равны нулю, т.е. цепь находилась в состоянии покоя. Поэтому

i_L (0₊) = i_L (0_-) = 0, т.е. имеем нулевые начальные условия.

Уравнения Кирхгофа и дифференциальное уравнение. Для t  0 для цепи после коммутации запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

u ₀(t) = u_R (t) + u_L (t),

где u_R (t) и u_L (t) - напряжения на резисторе и катушке индуктивности. Выразим эти напряжения через ток i_L (t) в контуре, используя известные соотношения u_R (t) = R i_L (t) и . Тогда получим следующее уравнение:

(1.11)

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, что соответствует цепи с одним реактивным элементом. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты и является неоднородным (правая часть отлична от нуля), т.к. в цепи после коммутации имеется источник.

Решение дифференциального уравнения в соответствии с изложенным выше порядком, будем искать в виде суммы (1.5)

i_L (t) = i_Lсв (t) + i_Lвын (t),

(1.12)

где i_Lсв (t) - общее решение однородного уравнения (1.11) с правой частью равной нулю, а i_Lвын (t) = i_Lуст (t) - частное решение (1.11), которое определяется как установившееся значение искомой переменной в цепи после коммутации.

а). Для определения i_Lсв (t) запишем характеристическое уравнение соответствующее полученному дифференциальному. Оно будет иметь вид: pL + R, а его корень p₁ = - R / L. В соответствии с этим свободная составляющая

,

(1.13)

где A₁ постоянная интегрирования; t = L /R - имеет размерность времени и называется постоянной времени RL - цепи.

Необходимо отметить, что в цепи с одним реактивным элементом дифференциальное уравнение для искомой переменной будет первого порядка, и следовательно, собственная составляющая будет иметь вид (1.13). Постоянные А₁ и t будут зависеть от структуры цепи и ее параметров. На рис. 1.7 приведены примерный график собственной составляющей и таблица ее значений для моментов времени кратных постоянной времени цепи.

t		t	2t	3t	4t	5t	¥
exp(-t/t)		0,37	0,13	0,05	0,018	0,007

Рис. 1.7.

Как было отмечено выше, собственная составляющая существует во время переходного процесса и его определяет. Поэтому с помощью постоянной времени цепи можно оценить длительность переходного процесса. Считают, что переходный процесс практически заканчивается по истечении промежутка времени равного (4-5)t (свободная составляющая за это время уменьшается до 0,02 от своего первоначального значения согласно рис. 1.7). Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, т.к. свободная составляющая обращается в нуль только при t  .

б). Вынужденную составляющую i_Lвын (t) будем определять как установившееся значение тока в цепи. В установившемся режиме при t   в цепи установится режим постоянного тока, при котором напряжение на катушке индуктивности тождественно, т.е. для любого момента времени, равно нулю (согласно соотношению при i_L (t) = const). Поэтому в установившемся режиме постоянного тока катушку можно представить коротким замыканием, а всю схему в виде рис. 1.8. Из представленной схемы определяем

i_Lвын (t) = i_Lуст (t) = U₀ / R.

(1.14)

Рис.1.8

Полный переходный ток, согласно 1.12-1.14 равен

(1.15)

в). Постоянную интегрирования А₁ определяем из начальных условий i_L (0₊) = 0. После коммутации ток в цепи описывается выражением (1.15). Полагая в нем t = 0 и приравнивая полученное выражение известному начальному значению, получим i_L (0₊) = А₁ + U₀ / R = 0. Отсюда А₁ = - U₀ / R. Окончательное решение (1.15) принимает вид:

.

(1.16)

График зависимости тока от времени представлен на рис. 1.9.

До коммутации ток в катушке равен нулю и с этого же значения начинает изменяться после коммутации. При t = t ток нарастает до 0.63 от установившегося значения U₀ / R, а при t = 4t - до 0.98 U₀ / R. По истечении времени t = (4-5)t переходный процесс практически завершается и в цепи устанавливается постоянный ток i_Lуст (t) = U₀ / R.

Напряжения на резисторе и катушке индуктивности можно определить по найденному току i_L (t) с использованием известных соотношений:

Графики этих функций приведены на рис. 1.10.

Напряжение на резисторе u_R (t) повторяет форму тока, а напряжение на индуктивности u_С (t) пропорционально производной от тока в первый момент после коммутации напряжение на катушке равно U₀, т.е. изменяется скачком, т.к. до коммутации оно равнялось нулю. Это не противоречит законам коммутации, которые выполняются только для токов в индуктивностях и для напряжений на емкостях.

Подключение источника гармонического напряжения в последовательной RL - цепи

Предположим, что в схеме рис. 1.6 напряжение источника является гармонической функцией времени u₀ (t) = U_m0 cos(w t+y ₀). Тогда в данном случае дифференциальное уравнение (1.11) будет иметь правую часть в виде гармонической функции:

Свободная составляющая решения, как и в предыдущем примере, равна

.

Вынужденную составляющую найдем как установившийся гармонический ток

i_Lвын (t) = i_Lуст (t) = I_mL cos(w t+y _L).

Его параметры, т.е. амплитуду I_mL и начальную фазу y _L определим методом комплексных амплитуд. Искомая комплексная амплитуда тока

откуда получаем

Полный ток

i_L (t) = i_Lсв (t) + i_Lвын (t) = + I_mL cos(w t+y _L).

Для расчета А₁ используем начальное условие i_L (0₊) = 0. Это условие при подстановке в выражение для полного тока t = 0 дает следующее уравнение: i_L (0₊) = А₁ + I_mL cos(y _L) = 0, откуда получаем, что

А₁ = - I_mL cos(y _L). Окончательно с учетом полученных выше результатов запишем переходный ток

.

Графики зависимостей от времени свободного, установившегося и полного токов приведены на рис. 1.11.