Студопедия.Орг Главная | Случайная страница | Контакты | Мы поможем в написании вашей работы!  
 

Подключение источника постоянного напряжения в последовательной RL - цепи



Схема показана на рис. 1.6 при u 0(t) = U 0. В момент времени t = 0 ключ замыкается.

Рис. 1.6.

Начальные условия. До коммутации токи и напряжения в RL - цепи были равны нулю, т.е. цепь находилась в состоянии покоя. Поэтому

iL (0+) = iL (0-) = 0, т.е. имеем нулевые начальные условия.

Уравнения Кирхгофа и дифференциальное уравнение. Для t  0 для цепи после коммутации запишем уравнение по второму закону Кирхгофа:

u 0(t) = uR (t) + uL (t),

где uR (t) и uL (t) - напряжения на резисторе и катушке индуктивности. Выразим эти напряжения через ток iL (t) в контуре, используя известные соотношения uR (t) = R iL (t) и . Тогда получим следующее уравнение:

(1.11)

Полученное уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, что соответствует цепи с одним реактивным элементом. Дифференциальное уравнение имеет постоянные коэффициенты и является неоднородным (правая часть отлична от нуля), т.к. в цепи после коммутации имеется источник.

Решение дифференциального уравнения в соответствии с изложенным выше порядком, будем искать в виде суммы (1.5)

iL (t) = iLсв (t) + iLвын (t),

(1.12)

где iLсв (t) - общее решение однородного уравнения (1.11) с правой частью равной нулю, а iLвын (t) = iLуст (t) - частное решение (1.11), которое определяется как установившееся значение искомой переменной в цепи после коммутации.

а). Для определения iLсв (t) запишем характеристическое уравнение соответствующее полученному дифференциальному. Оно будет иметь вид: pL + R, а его корень p1 = - R / L. В соответствии с этим свободная составляющая

,

(1.13)

где A1 постоянная интегрирования; t = L /R - имеет размерность времени и называется постоянной времени RL - цепи.

Необходимо отметить, что в цепи с одним реактивным элементом дифференциальное уравнение для искомой переменной будет первого порядка, и следовательно, собственная составляющая будет иметь вид (1.13). Постоянные А1 и t будут зависеть от структуры цепи и ее параметров. На рис. 1.7 приведены примерный график собственной составляющей и таблица ее значений для моментов времени кратных постоянной времени цепи.

t   t 2t 3t 4t 5t ¥
exp(-t/t)   0,37 0,13 0,05 0,018 0,007  

Рис. 1.7.

Как было отмечено выше, собственная составляющая существует во время переходного процесса и его определяет. Поэтому с помощью постоянной времени цепи можно оценить длительность переходного процесса. Считают, что переходный процесс практически заканчивается по истечении промежутка времени равного (4-5)t (свободная составляющая за это время уменьшается до 0,02 от своего первоначального значения согласно рис. 1.7). Теоретически переходный процесс длится бесконечно долго, т.к. свободная составляющая обращается в нуль только при t  .

б). Вынужденную составляющую iLвын (t) будем определять как установившееся значение тока в цепи. В установившемся режиме при t   в цепи установится режим постоянного тока, при котором напряжение на катушке индуктивности тождественно, т.е. для любого момента времени, равно нулю (согласно соотношению при iL (t) = const). Поэтому в установившемся режиме постоянного тока катушку можно представить коротким замыканием, а всю схему в виде рис. 1.8. Из представленной схемы определяем

iLвын (t) = iLуст (t) = U0 / R.

(1.14)

Рис.1.8

Полный переходный ток, согласно 1.12-1.14 равен


(1.15)

в). Постоянную интегрирования А1 определяем из начальных условий iL (0+) = 0. После коммутации ток в цепи описывается выражением (1.15). Полагая в нем t = 0 и приравнивая полученное выражение известному начальному значению, получим iL (0+) = А1 + U0 / R = 0. Отсюда А1 = - U0 / R. Окончательное решение (1.15) принимает вид:

.

(1.16)

График зависимости тока от времени представлен на рис. 1.9.

До коммутации ток в катушке равен нулю и с этого же значения начинает изменяться после коммутации. При t = t ток нарастает до 0.63 от установившегося значения U0 / R, а при t = 4t - до 0.98 U0 / R. По истечении времени t = (4-5)t переходный процесс практически завершается и в цепи устанавливается постоянный ток iLуст (t) = U0 / R.

Напряжения на резисторе и катушке индуктивности можно определить по найденному току iL (t) с использованием известных соотношений:

Графики этих функций приведены на рис. 1.10.

Напряжение на резисторе uR (t) повторяет форму тока, а напряжение на индуктивности uС (t) пропорционально производной от тока в первый момент после коммутации напряжение на катушке равно U0, т.е. изменяется скачком, т.к. до коммутации оно равнялось нулю. Это не противоречит законам коммутации, которые выполняются только для токов в индуктивностях и для напряжений на емкостях.

Подключение источника гармонического напряжения в последовательной RL - цепи

Предположим, что в схеме рис. 1.6 напряжение источника является гармонической функцией времени u0 (t) = Um0 cos(w t+y 0). Тогда в данном случае дифференциальное уравнение (1.11) будет иметь правую часть в виде гармонической функции:

Свободная составляющая решения, как и в предыдущем примере, равна

.

Вынужденную составляющую найдем как установившийся гармонический ток

iLвын (t) = iLуст (t) = ImL cos(w t+y L).

Его параметры, т.е. амплитуду ImL и начальную фазу y L определим методом комплексных амплитуд. Искомая комплексная амплитуда тока

откуда получаем

Полный ток

iL (t) = iLсв (t) + iLвын (t) = + ImL cos(w t+y L).

Для расчета А1 используем начальное условие iL (0+) = 0. Это условие при подстановке в выражение для полного тока t = 0 дает следующее уравнение: iL (0+) = А1 + ImL cos(y L) = 0, откуда получаем, что

А1 = - ImL cos(y L). Окончательно с учетом полученных выше результатов запишем переходный ток

.

Графики зависимостей от времени свободного, установившегося и полного токов приведены на рис. 1.11.





Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 939 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!



studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2024 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования (0.009 с)...