Интегрируемые типы уравнений первого порядка

правая часть которого представлена в виде отношения двух функций g (t,x) и h (t,x). Предполагается, что функции g (t,x) и h (t,x) определены и непрерывны на некотором открытом множестве D плоскости переменных (t,x) и знаменатель h (t,x) не обращается в нуль ни в одной точке этого множества. Уравнение (1.11) часто символически записывают в виде

(1.12)

Уравнение (1.11) называется уравнением в полных дифференциалах, если левая часть равенства (1.12) представляет собой полный дифференциал некоторой функции F (t,x) на всем множестве D, т.е.

(1.13)

Таким образом,

II. Линейные уравнения

Линейным уравнением первого порядка называют уравнения

(1.20)

где a (t), b (t) - заданные функции переменной t. Предположим, что функции a (t) и b (t) определены и непрерывны на некотором интервале r₁ < t < r₂ (возможно, что r₁ = -¥, r₂ = +¥ одновременно или выполнено одно из этих соотношений). Таким образом, открытое множество D, на котором задана правая часть уравнения (1.20) представляет собой полосу r₁ < t < r₂ на плоскости (t,x), если r₁ и r₂ конечны; полуплоскость, если конечна только одна из величин r₁, r₂ и плоскость, если бесконечны обе величины r₁, r₂. Правая часть уравнения (1.20) непрерывна вместе со своей частной производной по x на всем множестве D и поэтому удовлетворяет (по x) условию Липшица. Итак, для уравнения (1.20) условия теоремы выполнены.

Пусть t₀ - некоторая точка интервала (r₁,r₂). Положим

(1.21)

Функция A (t), очевидно, определена на интервале r₁ < t < r₂. Докажем, что совокупность всех решений уравнения (1.20) задается формулой

(1.22)

где x₀ - произвольная константа. Для вывода формулы (1.22) рассмотрим сначала однородное уравнение, соответствующее (1.20), т.е. уравнение

(1.23)

Это уравнение в полных дифференциалах. В самом деле, символически его можно записать в виде

Соответствующая функция F (t,x) легко вычисляется:

где A (t) определена по формуле (1.21). В таком случае, согласно вышесказанному, решения уравнения (1.23) определяются как неявные функции из соотношения

Отсюда находим или

(1.24)

где C может принимать любые действительные значения.

Для получения с помощью формулы (1.24) решения неоднородного уравнения (1.20) применяется так называемый метод вариации постоянной. То есть решение уравнения (1.20) ищется в виде (1.24), но C уже не константа, а некоторая неизвестная функция переменного t. Подставляя выражение

(1.25)

в уравнение (1.20), получим:

или, что то же

Отсюда находим

(1.26)

где x₀ - константа интегрирования. На основании (1.25), (1.26) получаем формулу (1.22).

Некоторые дифференциальные уравнения путем замены переменных могут быть сведены к линейным. К таким уравнениям относится так называемое уравнение Бернулли, имеющее вид

Это уравнение заменой переменной сводится к линейному. Действительно, так как

то произведя подстановку, получим линейное уравнение

IV. Однородные уравнения

Уравнение первого порядка

называется однородным, если f (t,x) есть однородная функция своих аргументов нулевой степени однородности, т.е. имеет место тождество

	(1.28)