Билет 1 вопрос

Теорема Коши. Пусть в некоторой области плоскости функция непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной . И пусть – произвольная точка внутри . Тогда существует такой интервал , в котором уравнение

(3.1)

С начальным условием

(3.2)

Имеет решение и это решение единственно.

Задача решения уравнения (3.1) с начальным условием (3.2) называется Задачей Коши. При выполнении условий теоремы Коши через точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (3.1).

Пример 3.1. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (2.6)

.

Для него

,

А значит

.

Если и – непрерывные функции, то условия теоремы Коши выполняются, поэтому при любом начальном условии линейное уравнение имеет решение и притом единственное.

Пример 3.2. Возьмем уравнение

.

Для него

.

Если , то функция терпит разрыв, а значит, точка с абсциссой не принадлежит области . Именно этим и объясняется то, что начальное условие

Оказывается недопустимым.

Теорема Коши дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши, которое может существовать и без выполнения условий теоремы.

Пример 3.4. Для уравнения

Имеем

.

В точках оси функции и

Разрывные, причем последняя функция при неограниченна. Но через каждую точку оси проходит единственная интегральная кривая

.

Требование выполнения условия Липшица в теореме Коши является существенным для упрощения доказательства единственности решения. Если это требование не учитывается, то справедлива следующая теорема.

Теорема о существовании решения. Если функция непрерывна в окрестности точки , то задача Коши имеет, по крайней мере, одно решение.

Предположим теперь, что в уравнении (3.1) будет

.

Тогда

.

Поэтому можно положить

.

Рассмотрим вместо уравнения (3.1) уравнение

С начальным условием

.

Предположим, что для этого уравнения в точке условия теоремы Коши выполнены. Тогда через эту точку проходит единственная кривая и при этом . Но тогда для соответствующего решения исходного уравнения будет .

Итак, в этом случае через точку проходит единственная интегральная кривая уравнения (3.1), но она имеет в этой точке вертикальную касательную.