![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Теорема Коши. Пусть в некоторой области плоскости
функция
непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной
. И пусть
– произвольная точка внутри
. Тогда существует такой интервал
, в котором уравнение
(3.1)
С начальным условием
(3.2)
Имеет решение и это решение единственно.
Задача решения уравнения (3.1) с начальным условием (3.2) называется Задачей Коши. При выполнении условий теоремы Коши через точку проходит одна и только одна интегральная кривая уравнения (3.1).
Пример 3.1. Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение (2.6)
.
Для него
,
А значит
.
Если и
– непрерывные функции, то условия теоремы Коши выполняются, поэтому при любом начальном условии линейное уравнение имеет решение и притом единственное.
Пример 3.2. Возьмем уравнение
.
Для него
.
Если , то функция
терпит разрыв, а значит, точка с абсциссой
не принадлежит области
. Именно этим и объясняется то, что начальное условие
Оказывается недопустимым.
Теорема Коши дает достаточные условия существования единственного решения задачи Коши, которое может существовать и без выполнения условий теоремы.
Пример 3.4. Для уравнения
Имеем
.
В точках оси функции
и
Разрывные, причем последняя функция при неограниченна. Но через каждую точку
оси
проходит единственная интегральная кривая
.
Требование выполнения условия Липшица в теореме Коши является существенным для упрощения доказательства единственности решения. Если это требование не учитывается, то справедлива следующая теорема.
Теорема о существовании решения. Если функция непрерывна в окрестности точки
, то задача Коши имеет, по крайней мере, одно решение.
Предположим теперь, что в уравнении (3.1) будет
.
Тогда
.
Поэтому можно положить
.
Рассмотрим вместо уравнения (3.1) уравнение
С начальным условием
.
Предположим, что для этого уравнения в точке условия теоремы Коши выполнены. Тогда через эту точку проходит единственная кривая
и при этом
. Но тогда для соответствующего решения
исходного уравнения будет
.
Итак, в этом случае через точку проходит единственная интегральная кривая уравнения (3.1), но она имеет в этой точке вертикальную касательную.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 248 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!