С в о й с т в о 4

Для любых разбиений и справедливо неравенство (11)
○ Пусть разбиение является продолжением как разбиения , так и разбиения (в качестве можно взять и добавить к нему те точки разбиения , которые не входят в ). Из неравенств (10) при , получаем
. Полагая в (10) = и = , находим . Объединяя полученные неравенства, имеем
, Откуда следует неравенство (11).●

С в о й с т в о 5.

Существуют числа , Удовлетворяющие для любых разбиений и отрезка условию (12)
Эти числа называют соответственно нижним и верхним интегралами Дарбу от функции на отрезке .
○ Из неравенства (11) по теореме об отделимости числовых множеств следует, что существует и (супремум и инфимум по всевозможным разбиениям отрезка и для любых разбиений и выполняется неравенство (12).●
свойства 1-5 справедливы для любой ограниченной на отрезке функции.