БИЛЕТ 5. 1. Предел функции. Непрерывность

1. Предел функции. Непрерывность. Точки разрыва функции и их классификация. Теорема (первая теорема Вейерштрасса) Теорема (вторая теорема Вейерштрасса) Теорема (Больцано-Коши).

Предел функции.

Число B называется пределом ф-ии в f(x) при x, стремящемуся к x0 (или в точке x0) если для любого, сколь угодно малого положительного числа ε>0, найдётся такое положительное число δ(ε)>0 что для всех х не равных х0 и удовлетворяющих условию | x-x0 |<δ выполняется нерав-во | f(x)-B | < ε

lim f(x)=B

x→x0

Смысл состоит в том, что для всех значений х, достаточно близких к х0, значения ф-ии f(x) как угодно мало отличаются от числа В (по модулю)

Непрерывность.

Функция f(x) называется непрерывной в т.х0

lim f(x)=B

x→x0

Если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке.

B=f(x0), то ф-ия f(x) – непрерывна в точке х0.

св-ва:

lim c=c

x→x0

если f(x)=b, φ(x)=c то lim (f(x)±φ(x))=b±c

x→x0

lim (f(x)*φ(x))=b*c

x→x0

lim (f(x)/φ(x))=b/c (c≠0)

x→x0

Если f(x)≤φ(x)≤g(x) и lim f(x)=lim g(x) =b то lim φ(x)=b

x→x0 x→x0 x→x0

если при этом b=f(x0); c=φ(x0) то св-во 2 можно записать:

(Если f(x) или φ(х) непрерывны в т. х0 то в т.х0

непрерывны сумма, разность, произведение и

частное(φ(х0))≠0 этих функций

Если ф-ия непрерывна в каждой точке отрезка, то она непрерывна на этом отрезке.

Точки разрыва функции и их классификация.

Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва этой функции. Если х = х₀ — точка разрыва функции у = ƒ(х), то в ней не выполняется по крайней мере одно из условий первого определения непрерывности функции, а именно:

1. Функция определена в окрестности точки х₀, но не определена в самой точке х₀. 2. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, но не существует предела ƒ(х) при х→х₀. 3. Функция определена в точке х₀ и ее окрестности, существует но этот предел не равен значению функции в точке x₀.

Все точки разрыва функции разделяются на точки разрыва первого и второго рода. Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва первого рода функции у = ƒ(х), если в этой точке существуют конечные пределы функции слева и справа (односторонние пределы). При этом:

а.) если А₁ = А₂, то точка х₀ называется точкой устранимого разрыва;

б.) если А₁ ≠ А₂, то точка х₀ называется точкой конечного разрыва.

Величину |A₁-А₂| называют скачком функции в точке разрыва первого рода.

Точка разрыва х₀ называется точкой разрыва второго рода функции у = ƒ(х), если по крайней мере один из односторонних пределов (слева или справа) не существует или равен бесконечности.

Теорема (первая теорема Вейерштрасса)
Если функция f непрерывна на сегменте[a,b], то она ограничена на нем.
Доказательство: методом от противного, воспользуемся свойством замкнутости сегмента [ a; b ]. Из любой последовательности (xn) этого сегмента можем выделить подпоследовательность xnk, сходящуюся к x 0∈[ a; b ].

Пусть f не ограничена на сегменте [ a; b ], например, сверху, тогда для всякого натурального n ∈ N найдется точка xn ∈[ a; b ], что f (xn)> n. Придавая n значения 1,2,3,{\ldots}, мы получим последовательность (xn)точек сегмента [ a; b ], для которых выполнено свойство f (x 1)>1, f (x 2)>2, f (x 3)>3,..., f (xn)> n...

Последовательность (xn) ограничена и поэтому из нее по теореме можно выделить подпоследовательность(xnk), которая сходится к точке x 0∈[ a; b ]: lim k →∞ xnk = x 0 (1)

Рассмотрим соответствующую последовательность (f (xnk)). С одной стороны f (xnk)> nk и поэтому lim k →∞ f (xnk)=+∞ (2),

С другой стороны, учитывая определение непрерывной функции по Гейне из (1) будем иметьlim k →∞ f (xnk)= f (x 0) (3)
Получаем равенства (2) и (3) противоречат теореме (о единственности предела). Это противоречие и доказывает справедливость теоремы. Аналогично доказывается ограниченность функции снизу. Ч.Т.Д.

Теорема (вторая теорема Вейерштрасса)
Если функция непрерывна на сегменте, то она достигает на нем своих граней (т.е. непрерывная на сегменте функция принимает свое наибольшее и наименьшее значения).
Доказательство: Пусть f (x)∈ C ([ a; b ]), c =inf x ∈[ a; b ] f (x), d =sup x ∈[ a; b ] f (x). По первой
теореме Вейерштрасса c, d ∈ R. Докажем, что f достигает на [ a; b ] своих граней, т.е. найдутся такие точки x 1, x 2∈[ a; b ], что f (x 1)= c, f (x 2)= d.

Докажем, например, существование точки x 2.

По определению верхней грани имеем (∀ x ∈[ a; b ])(f (x)= d). Предположим противное, т.е. точки x 2, в которой f (x 2)= d на [ a; b ], тогда на [ a; b ] выполняется условие f (x)< d или d − f (x)>0. Далее введем вспомогательную функцию ϕ(x)=1 d − f (x). ϕ(x) на [ a; b ] положительна и непрерывна (как отношение двух непрерывных на [ a; b ] функций и d − f (x)/=0), поэтому по первой Т. Вейерштрасса ϕ(x) на [ a; b ]ограничена.
Это означает, что при некотором М>0 (∀ x ∈[ a; b ])(0<1 d − f (x)≤ M), отсюда имеем f (x)≤ d −1 M < d.
Полученное неравенство противоречит тому, что d является верхней гранью функции f (x) на [ a; b ], т.е. наименьшим из верхних границ. Полученное противоречие и означает существование точки x 2 такой, что f (x 2)= d.

Аналогично доказывается существование точки x 1∈[ a; b ], такой что f (x 1)= c.

Теорема (Больцано-Коши). Если функция f непрерывна на отрезке [ a, b ], f (a) = A и f (b) = B, то для любого числа C, заключенного между A и B, существует такая точка [ a, b ], что

f () = C

(7.8)

Доказательство. Пусть для пределенности f (a) = A < B = f (b) и, следовательно, A < C < B. Разделим отрезок [ a, b ] на два равных отрезка точкой (a + b)/2. Если f ((a + b)/2) = C, то точка найдена (см. (7.8)): = (a + b)/2. Если f ((a + b)/2) C, то либо f ((a + b)/2) < C, либо f ((a + b)/2) > C. В первом случае выберем отрезок [(a + b)/2, b ], а во втором - отрезок [ a,(a + b)/2]; выбранный отрезок обозначим [ a ₁, b ₁]. Очевидно, f (a ₁) < C < f (b ₁) и b ₁ - a ₁ = (b - a)/2. Разделим отрезок [ a ₁, b ₁] его средней точкой (a ₁ + b ₁)/2 на два равных отрезка.
Если f ((a ₁ + b ₁)/2) = C, то = (a ₁ + b ₁)/2. Если же f ((a ₁ + b ₁)/2) C, то выберем из получившихся отрезков тот, на левом конце которого значение функции меньше C, а на правом - больше C, и т. д. Тогда либо через конечное число шагов мы получим такую среднюю точку некоторого отрезка, что f () = C, тогда теорема доказана, либо - такую систему вложенных отрезков [ a_n, b_n ], что

f (an) < C < f (bn), n = 1, 2,...,	(7.9)
bn - an = (b - a)/2 n 0 при n /	(7.10)

Пусть - общая точка, принадлежащая всем отрезкам [ a_n, b_n ]; тогда (см. замечание в п. 5.7)

a_n = b_n =

и, следовательно, в силу непрерывности функции f

f (an) = f (bn) = f ().

(7.11)

Но в силу (7.9)

f (an) < C < f (bn).

(7.12)

Из соотношений (7.11) и (7.12) следует, что f () < C < f (), т. е. что f () = C.

Следствие. Если функция непрерывна на отрезке и на его концах принимает значения разных знаков, то на этом отрезке существует хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль.

2. Производящие функции для графов, ориентированных графов и турниров. Связаные графы.

Пара G = (V, E) называется графом. Множество

V = V(G) при этом называется множеством вершин графа G, а его элементы – вершинами; множество Е = Е(G) называется множеством ребер графа G, а его элементы – ребрами. И вершины, и ребра графа G называются его элементами.

Поэтому если u – вершина графа G, а е – ребро G, то вместо u∈V(G), e∈E(G) можно писать u∈G, e∈G.

Если e = {u, v} – ребро графа G (пишут также е = uv), то вершины u и v называются концами ребра е.

Точки А, Б, В, Г, Д называются вершинами графа, а отрезки линий, соединяющие эти точки — ребрами графа. При изображении графов на рисунках или схемах отрезки могут быть прямолинейными или криволинейными; Длины отрезков и расположение точек произвольны. Например, все три фигуры на рисунке изображают один и тот же граф.