Критерий интегрируемости функции

Полезным для дальнейшего является понятие колебания функции на отрезке :

В частности,

Следовательно,

Сформулируем необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на отрезке .

Теорема 1 (критерий Римана). Для того чтобы ограниченная функция была интегрируемой на отрезке , необходимо и достаточно, чтобы для любого нашлось такое разбиение отрезка , при котором или

Замечание 1. Из этого условия следует, что интегрируемость функции равносильна тому, что для любого найдется разбиение отрезка , при котором график функции можно поместить в "змейку'', составленную из прямоугольников общей площади меньше

Доказательство. Необходимость. Из определения интегрируемости функции на следует, что для любого найдется такое, что для всех разбиений , мелкость которых , и для всех выполняется условие

Переходя к и в этих неравенствах по , и воспользовавшись свойством 1 сумм Дарбу, получим

Отсюда

Достаточность. Пусть произвольно и -- такое разбиение отрезка , при котором . По свойствам имеем

Отсюда, по условию теоремы,

Следовательно, ввиду произвольности , имеем

Докажем теперь, что функция интегрируема на и интеграл от нее равен числу . Возьмем произвольное
, тогда по лемме Дарбу существует такое, что для любого разбиения отрезка мелкостью выполняется

В силу того, что для любого

из неравенства (9.5.1) имеем

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

· Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

· Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].