Определенный интеграл. Разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ; в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке

Пусть функция определена на отрезке , .

Разобьем отрезок точками на n частичных отрезков ; в каждом из частичных отрезков , выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ; найдем произведения , где – длина частичного отрезка , ; составим сумму

, (1)

которая называется интегральной суммой функции y = f(x) на отрезке[а, b]. С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рис. 1). Обозначим через длину наибольшего частичного отрезка ; найдем предел интегральной суммы, когда .

Рис. 1

Определение. Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначается .

Таким образом, .

В этом случае функция называется интегрируемой на . Числа а и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, – подынтегральной функцией, – подынтегральным выражением, – переменной интегрирования; отрезок называется промежутком интегрирования.

Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.