С в о й с т в о 2

Спараведливы равенства , (8) . (9)
○ Докажем утверждение (8). Согласно определению точной верхней грани нужно доказать, что выполняются следующие условия: .
Первое из этих условий выполняется в силу (6). Докажем второе условие. Так как , то по определению точной верхней грани : .
Умножая -е неравенство на и складывая все полученные неравенства, находим ,
Где - выборка. Итак, утверждение (8) доказано. Аналогично доказывается, что справедливо и утверждение (9).●
Следующее свойство сумм Дарбу связано с ещё одним понятием для разбиений. Назовём разбиение продолжением (измельчением) разбиения , если каждая точка разбиения является точкой разбиения . Иначе говоря, Разбиение либо совпадает с разбиением , либо получено из добавлением по крайней мере одной новой точки.
С в о й с т в о 3.

Если разбиение - продолжение разбиения , то (10)
т.е. при измельчении разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя не увеличивается.
○ Для доказательства неравенств (10) достаточно рассмотреть случай, когда разбиение получается из разбиения добавлением только одной точки . пусть и - отрезки, на которые точка разбивает отрезок , а и - длины этих отрезков; тогда . Обозначим , . Очевидно, что , .
В суммах и равны все соответствующие слагаемые, за исключением тех, которые связаны с отрезком . Поэтому
+ ,
где , . Следовательно, + , т.е. .
Аналогично доказывается неравенство . Отсюда, используя неравенство (см.(6)), получаем цепочку неравенств (10).