![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть
линейный оператор, действующий в линейном пространстве.
Число называется собственным значением, а ненулевой вектор
соответствующим собственным вектором линейного оператора
, если они связаны между собой соотношением
.
Пусть матрица оператора в некотором базисе.
Собственные значения оператора и соответствующие им собственные векторы связаны соотношением , где
единичная матрица, а
нулевой элемент пространства
. Это означает, что собственный вектор оператора является ненулевым решением линейной однородной системы
, которое существует тогда и только тогда, когда
. Следовательно, собственные значения линейного оператора могут быть вычислены как корни уравнения
, а собственные векторы -- как решения соответствующих однородных систем.
Уравнение называется характеристическим уравнением оператора, а многочлен
характеристическим многочленом оператора.
Для собственных значений и собственных векторов линейного оператора справедливы следующие утверждения:
характеристический многочлен оператора, действующего в n-мерном линейном пространстве является многочленом n-й степени относительно ;
линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве имеет не более различных собственных значений;
собственные векторы, отвечающие различным собственным значениям, линейно независимы;
если линейный оператор, действующий в n-мерном линейном пространстве , имеет
различных собственных значений, то собственные векторы оператора образуют базис в пространстве
; этот базис называют собственным базисом оператора;
матрица оператора в базисе из его собственных векторов имеет диагональную форму с собственными значениями на диагонали.
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 220 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!