![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Предположим, что пространство элементарных событий имеет мощность континуума. Будем рассматривать такие подмножества, которые являются измеримыми, т.е. имеют меру – функцию множества. Такую, что мера от А всегда неопределенна, мера (А+В)=(А+В), если пересечение множеств А и В пусто.
Ϭ(сигма) алгебра событий – алгебра измеримых множеств.
По определению, вероятность события А – отношение меры А к мере пространственно-элементарных событий.
Геометрическое определение вероятности - Вероятность случайного события равна отношению площади области, благоприятствующей данному событию к площади, соответствующей всевозможным исходам эксперимента
Р(А)=S(A)/S(Ω)
Проверка выполнения аксиом:
А1.
=1(верно)
А2
Отношение площадей неотрицательно и не превышает единицы, так как площадь части области не больше площади всей области.
- эта дробь не может быть отрицательной
А3
Геометрическая вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей. Полный набор событий изображается разбиением области Ω на непересекающиеся области, объединение которых совпадает со всей областью Ω. Поэтому сумма геометрических вероятностей событий образующих полный набор равна 1
Мера
=
+
=р(А)+р(В)
Задача о круге
В круг радиуса R наудачу бросается точка. Найти вероятность того,
что она попадет в фиксированный квадрат,
вписанный в данный круг?
Ω - круг
А – попадание в квадрат
Р(А)= S(A)/S(Ω)=а2 /πr2 =2/π
Вопрос № 36. Свойства вероятностей (сумма вероятностей противоположных событий, вероятность частного случай, теорема сложения - все с доказательствами)
Сумма событий А и В есть не что иное как обьединение соответсвующих множеств
A+B= A нижн.пересеч.В
По определению сумма событий-это событие,состоящее в том,что произошло событие А или событие В.
Событию А+В соответствует множество элементарных исходов,принадлеж.множеству А или множеству В те именно обьединение этих множеств.
Произведение событий есть пересечение соответствующих множеств
АВ=А∩В.
События несовместны если пересечение соответствующих множеств пусто.
Вероятность противоположного события вместе с вероятностью исходного события равна 1
Р(А)+Р(Ā)=1
Доказательство:
Ω=А+Ā
А*Ā=Ø
Р(А+Ā)=Р(Ω)=1 => 1=Р(А)+Р(Ā)
Если событие А является частным случаем события В, то вероятность А НЕ превосходит вероятность В.
В=А+(В-А)
А*(В-А) – невозможно, эти два события несовместны, но по третьей аксиоме (для любых несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме их вероятностей) Р(В)=Р(А+(В-А))=Р(А)+Р(В-А)
В-А=В*Ā
Тогда по второй аксиоме (для любого события А верно, что вероятность А неотрицательна) Р(В-А)≥0 (как и у любого из алгебры событий)
Р(А)<Р(В)
Теорема Сложения.
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
P.S.Если А*В=Ø, то Р(А*В)=0, получаем третью аксиому (частный случай)
Доказательство:
А+В=(А-В)+(В-А)+А*В
А и В-А несовместны
А*(В-А)=Ø – невозможное событие
(Р(А+В) = Р(А)+Р(В-А)) – (Р(В)=Р(В-А)+Р(А*В)) = (Р(А)=Р(А)-Р(А*В))
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А*В)
Дата публикования: 2015-01-26; Прочитано: 332 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!