Некоторые понятия высшей алгебры

Алгеброй А называется совокупность множества М с заданными на нем операциями S={f₁₁,…,f_1n,f₂₁,…,f_m1,…,f_mn}.

A=<M,S>, где М- носитель, S-сигнатура, правый нижний индекс у f – местность.

Рассмотрим фундаментальные алгебры.

А<M,f₂> - группоид, если f₂-операция сложения, то он называется аддитивным, если умножение – мультипликативным.

Пусть Х-некоторое множество. Говорят, что на множестве Х установлена алгебраическая операция, если существует пара a,b X, которой поставлен в соответсвие однозначным образом элемент c X²; определенная таким образом операция называется операцией сложения или умножения. Алгебраическая операция называется ассоциативной, если для любых a,b,c X верно равенствово:

(a+b)+c=a+(b+c).

Множество с заданной на нем ассоциативной операцией называется полугруппой. Полугруппа называется группой если:

1) е: a X, a•e=e•a=a;

2) a•a^-1= a^-1•a=e;

Элемент e называется единицей группы, а a^-1 – обратным элементом.

Если операция – сложения, то e – ноль, а a^-1- противоположный a.

Группа называется конечной если X-конечное множество.

Примеры:

1) множество целых чисел относительно сложения,

2)множество рациональнальных чисел (кроме 0) относительно умножения 3) множество векторов относительно умножения.

Если на множестве X определены операции сложения и умножения (сложение коммутативно, выполняется распределительгый закон), то такое множество называется кольцом. В кольце не может быть 1 и a^-1. Если в кольце имеется 1, то оно называется “кольцо с единицей”. Множество комплексных и рациональных чисел с операциями сложения и умножения являются кольцами.

Кольцо, в котором a 0 и b,x: a•x=b, называется полем.

Эл-т x называется частным от деления b на a. Пример – кольцо всех рациональных чисел.

16. Группы, кольца, поля.