Отношения порядка

Отношение на множестве называется отношением порядка, если оно обладает следующими свойствами:

для всех (рефлексивность)

Если и , то (антисимметричность)

Если и , то (транзитивность)

Обычно отношение порядка обозначают знаком . Если для двух элементов и выполняется , то говорят, что "предшествует" . Как и для отношения эквивалентности, условия 1-3 в таких обозначениях выглядят более естественно:

для всех (рефлексивность)

Если и , то (антисимметричность)

Если и , то (транзитивность)

Пример 1. Простым примером отношения порядка является отношение, задаваемое обычным неравенством на множестве вещественных чисел . Заметим, что для любых чисел и выполняется либо , либо , т.е. любые два числа сравнимы между собой. Такие отношения называются отношениями полного порядка.

Предикат данного отношения есть просто утверждение .

Пример 2. Рассмотрим на множестве всех сотрудников некоторого предприятия отношение, задаваемое следующим образом: сотрудник предшествует сотруднику тогда и только тогда, когда выполняется одно из условий:

является начальником (не обязательно непосредственным)

Назовем такое отношение "быть начальником". Легко проверить, что отношение "быть начальником" является отношением порядка. Заметим, что в отличие от предыдущего примера, существуют такие пары сотрудников и , для которых не выполняется ни , ни (например, если и являются сослуживцами). Такие отношения, в которых есть несравнимые между собой элементы, называют отношениями частичного порядка.

Доминирование.

Отношение доминирования устанавливает математическое обосно-

вание некоторого превалирования, превосходства элементов множества.

Доминирование отвечает следующим свойствам бинарных отношений:

- антирефлексивности;

- асимметричности;

- нетранзитивности.

Например, доминированием является расстановка по занимаемым

местам участников соревнований после их проведения.

Участник а1 не может выиграть сам у себя (антирефлексивность),

выигрыш у а2 свидетельствует о том, что не может быть наоборот

(асимметричность), однако не доказывает возможность выигрыша у а3,

который проиграл а2 (нетранзитивность).

7. Операции над множествами.

Основными операциями над множествами являются объединение, пересечение и разность.

Объединением двух множеств называется новое множество.

Пересечением двух множеств называется новое множество.

Разностью (дополнением) двух множеств называется новое множество.